Олимпиада Сириус по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс онлайн 16 октября 2025 ответы и решения ко всем заданиям школьного этапа всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для 4 группы регионов дата проведения олимпиады на официальной платформе 2025-2026 учебный год. Пройти олимпиаду нужно не позднее 19:00 по местному времени 16 октября.
7 класс
1. За победу в командных соревнованиях Ане, Боре, Ване, Гене и Даше вручили мяч и кубок. Аня получила мяч от Гены, а кубок передала Боре, Даша передала кубок Ване, а мяч получила от Бори, Боря передал кубок Гене, а мяч получил от Вани. Ваня передал кубок Ане и получил от неё мяч. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально? У кого мяч был изначально? У кого кубок оказался в конце? У кого мяч оказался в конце?
Ответ: Кубок изначально: у Даши Мяч изначально: у Гены Кубок в конце: у Бори Мяч в конце: у Ани
1.2. За победу в командных соревнованиях Косте, Лене, Маше, Насте и Олегу вручили мяч и кубок. Костя получил кубок от Лены, и передал ей мяч. Олег получил мяч от Лены, а кубок передал Насте. Маша получила мяч от Олега, а кубок передала Лене. Настя передала мяч Косте, а кубок — Маше. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально?
Ответ: Кубок изначально: У Олега Мяч изначально: У Насти Кубок в конце: У Маши Мяч в конце: У Кости
1.3. За победу в командных соревнованиях Кате, Лене, Мише, Никите и Оле вручили мяч и кубок. Катя получила кубок от Лены, а мяч передала Никите. Оля получила кубок от Никиты, а мяч передала Кате. Лена получила кубок от Оли, а мяч отдала Мише. Никита отдал мяч Лене, а кубок получил от Миши. Больше никто никому ничего не передавал.
Ответ: 1. Миша, 2.Оля, 3. Катя, 4. Миша
1.4. За победу в командных соревнованиях Ане, Боре, Варе, Глебу и Диме вручили мяч и кубок. Аня получила мяч от Глеба, а кубок передала Боре. Дима передал кубок Ане, а мяч получил от Бори. Варя получила мяч от Димы, а кубок — от Глеба. Боря получил мяч от Ани, а кубок передал Глебу. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально?
Ответ: у Димы, у Глеба, у Вари, у Вари
2. В классе 60% девочек и 40% мальчиков. Известно, что среди учеников класса 40% девочек и 30% мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 36%
2.2. В классе 70% девочек и 30% мальчиков. Известно, что среди учеников класса 40% девочек и 20% мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 34%
2.3. В классе 40% девочек и 60% мальчиков. Известно, что среди учеников класса 30% девочек и 60% мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 48%
2.4. В классе 30% девочек и 70% мальчиков. Известно, что среди учеников класса 40% девочек и 30% мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат В этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 33%
3. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких-либо двух или трёх фигур.
Ответ: 4, 8, 10, 12, 13, 15
3.2. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких-либо двух или трёх фигур.
Ответ: 5, 7, 9, 11, 13, 14
3.3. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких-либо двух или трёх фигур.
Ответ: 4, 8, 9
3.4. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких-либо двух или трёх фигур.
Ответ: 5, 9, 10
4. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 829]?
Ответ: 4
4.2. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 772]?
Ответ: 6
4.3. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [600; 947)?
Ответ: 0
4.4. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 643]?
Ответ: 5
5. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в четыре раза больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 60 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 24 и 36
5.2. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в пять раз больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 20 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы полетели одновременно навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 12 и 18
5.3. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в шесть раз больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 50 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20 и 28
5.4. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в три раза больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 80 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 32 и 64
6. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 х 2 или 2 х 1 можно выпилить из фигуры, изображённой на рисунке?
Ответ: 12
6.2. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 х 2 или 2 х 1 можно выпилить из фигуры, изображенной на рисунке?
Ответ: 12
6.3. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 х 2 или 2 х 1 можно выпилить из фигуры, изображённой на рисунке?
Ответ: 15
6.4. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 х 2 или 2 х 1 можно выпилить из фигуры, изображённой на рисунке?
Ответ: 28
7. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 30 фигурок медведей, 25 матрёшек и 20 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7.2. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 30 фигурок медведей, 25 матрёшек и 15 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7.4. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 35 фигурок медведей, 30 матрёшек и 20 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе KVOVPVOVY VKVA так, чтобы он имел решение? Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.
8.2. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе СУИУРСИ СУ У С так, чтобы он имел решение? Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.
8.3. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе KVYVC VO VK так, чтобы он имел решение? Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.
8.4. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе CV И УРСИ VY V С так, чтобы он имел решение? Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.
8 класс
1. На клетчатом поле построили змейку из 50 уголков 4 х 4 (уголок — это квадрат 4 х 4, из которого удалили квадрат 3 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 1302
1.2. На клетчатом поле построили змейку из 99 уголков 5 х 3 (уголок — это прямоугольник 5 х 3, из которого удалили прямоугольник 4 х 2) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 2576
1.3. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5 х 4 (уголок — это прямоугольник 5 х 4, из которого удалили прямоугольник 4 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Ответ: 3002
1.4. На клетчатом поле построили змейку из 40 уголков 6 х 4 (уголок — это прямоугольник 6 х 4, из которого удалили прямоугольник 5 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Ответ: 1362
2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 3 и rз=2. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 239
2.2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 4 и r3=2. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 299
2.3. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 2 и r3=4. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 629
2.4. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 2 и r3=3. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 359
3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы пять рыцарей», или «Передо мной хотя бы шесть лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.2. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы шесть рыцарей», или «Передо мной хотя бы восемь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 9
3.3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180 ° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.4. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы семь рыцарей», или «Передо мной хотя бы пять лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 40, 21
4. Семнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1300. Последнее, наибольшее, семнадцатое, равно 90. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: наибольшее — 69 наименьшее — 2
4.2. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 60, 2
4.3. Четырнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 800. Последнее, наибольшее, четырнадцатое, равно 70. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 51, 2
4.4. Шестнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1350. Последнее, наибольшее, шестнадцатое, равно 100. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 40, 21
5. В последовательности a1 = 5, a2 = 2, a3=3/5 каждый член определяется двумя предыдущими: a n+1 = an+1/an-1. Найдите a500.
Ответ: 3
Ответ: 1
Ответ: 2
6. В одной школе в математический кружок ходят 18 восьмиклассников и 20 девятиклассников, в другой — 16 восьмиклассников и 22 девятиклассника. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.2. В одной школе в математический кружок ходят 12 восьмиклассников и 22 девятиклассника, в другой — 14 восьмиклассников и 20 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.3. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 12 девятиклассников, в другой — 24 восьмиклассника и 20 девятиклассников. Всем Восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.4. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 18 девятиклассников, в другой — 12 восьмиклассников и 16 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
7. В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если ABC = 28°. Ответ выразите в градусах.
7.2. В равнобедренном треугольнике BC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если LABC — 26°. Ответ выразите в градусах.
7.3. В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D. а на стороне АВ — точку Е, так что BD — AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если АВС -34. Ответ выразите в градусах.
7. В равнобедренном треугольнике АВС АВ — ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE — BE. Найдите величину угла СЕА, если LABC =32°. Ответ выразите в градусах.
8. Попарно различные натуральные числа a1, a2, a3, а4, a5, b1, b2, b3, b4, b5 таковы, что пять прямых у = а1х + b1, y = a2x + b2, y = a3x+bs, y = a4x + bs, y = a5x + b5 — пересекаются в одной точке. Числа С1, С2, С3, С4, С5 это числа 61, 62, 63, 64, 65 записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые у = а1х + с1, у = а2х + С2, у=а3х + c3, у = а4х + с4, у = a5х + c5 тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы а161 + а2b2 + а3b3 + a4b4 + a5b5.
9 класс
1. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников не являются квадратами 5 х 5?
Ответ: 1280
1.2. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 3 х 3?
Ответ: 1260
1.3. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 6 х 6?
Ответ: 1287
1.4. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 4 х 4?
Ответ: 1271
2. Сумма двух чисел равна корень из 69, а разность — корень из 37. Чему равно их произведение?
Ответ: 8
2.2. Сумма двух чисел равна корень из 65, а разность — корень из 29. Чему равно их произведение?
Ответ: 9
2.3. Сумма двух чисел равна корень из 75, а разность — корень из 31. Чему равно их произведение?
Ответ: 11
2.4. Сумма двух чисел равна корень из 77, а разность — корень из 53. Чему равно их произведение?
Ответ: 6
3. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана ВМ, которая делит биссектрису CL в отношении 4:3. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ALM.
Ответ: 8
3.2. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана AD, которая делит высоту ВН отношении 5:3. Найдите отношение площадей треугольников ABC и CDH.
Ответ: 5
3.3. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана AD, которая делит биссектрису ВЕ в отношении 6:5. Найдите отношение площадей треугольников АВС и CDE.
Ответ: 12
3.4. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана CN, которая делит высоту АН в отношении 7:5. Найдите отношение площадей треугольников АВС и BNH.
Ответ: 7
4. Функция удовлетворяет условию f(xy) = f(x) + f(y) для всех натуральных чисел x, у. Известно, что f(10) = 14 и f(40) = 20. Найдите f(1). Найдите f(2). Найдите f(500).
Ответ: 0, 3, 39
4.3. Функция f удовлетворяет условию f(x+ y) =f(x) f(y) для всех неотрицательных чисел х, у. Известно, что f(20) 25. Найдите f(0). Найдите f(10).
Ответ: 1; 5; 3125
Ответ: 0; 1; 30
5. Параболу, являющуюся графиком функции у = 2х2, отразили относительно прямой, описанной уравнением у = x + 3. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay2 + by + c.
Ответ: a=2, b=-12, с=15
5.2. График функции у = 5х2 отразили относительно прямой, описанной уравнением у = 1 — х. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы х = ay2 + by + c.
Ответ: a=5, b=10, с=-4
5.3. Параболу, являющуюся графиком функции y=4×2, отразили относительно прямой, описанной уравнением y=x+1. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x=ay2+by+c.
Ответ: a=4; b=−8; c=3
Ответ: a=−3; b=12; c=−10
6. Андрей выкладывает картонные квадраты 3 х 3 вдоль диагонали квадрата 4 х 4 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 44/3. Сколько необходимо квадратов, чтобы они покрыли площадь, равную 314/21? Чему равно минимальное количество квадратов, необходимое для того, чтобы покрыть площадь хотя бы корень из 224?
7. У Васи есть 35 картонных квадратов 1 х 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 х 7. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
7.2. У Васи есть 30 картонных квадратов 1 х 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 х 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
7.3 У Васи есть 20 картонных квадратов 1 х 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4 х 5. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
8. У натуральных чисел m, n наибольший общий делитель — НОД (m, n) — равен 11. Найдите все возможные значения НОД (m² — 2mn + n², m² + 9mn + n²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8.3. У натуральных чисел a, b наибольший общий делитель — НОД(а, b)— равен 7. Найдите все возможные значения НОД(a2- 2ab +b2, 2 + 5ab + b2). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
10 класс
1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21
1.2 Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 22
1.3. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20
1.4. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 23
2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5, 6, 7
2.2. В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 8, 9, 10
2.3. В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21, 22, 23
2.4. В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 15, 16, 17
3. В трапеции ABCD точки Р и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если LBAD = 33°, LCDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 114 градусов
3.3. В трапеции ABCD точки Р и Q-середины оснований ВС и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если BAD =36°, CDA 54. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 114
3.4. В трапеции ABCD точки Р и Q -середины оснований ВС и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ВАD = 31°, CDA 59°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 108
4. Последовательность чисел (an) определяется следующим образом: a1=2, a2=12/13, an=an-2*an-1/2an-2-an-1 для всех n = 3, 4, . … Запишите значение a500 в виде несократимой дроби.
Ответ: 12/3499
Ответ: 3/799
Ответ: 10/2399
Ответ: 4/1499
5. График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите с. Найдите f(3) + f(-3).
Ответ: 60/13 и 693/130
5.2. График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найдите с. Найдите f(2) + f(2).
Ответ: -24/5; -119/15
5.3. График квадратичной функции f(x) = ax2 +bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 12, 16 и 20. Найдите с.
Ответ: -48/5; -238/15
5.4. График квадратичной функции f(x) = ax2 + х + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15. Найдите с.
Ответ: -36/5; -1271/90
6. Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcde f — ab — cd — ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 400000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.3. Назовем натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdefab cdef для некоторого шестизначного числа abadef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 700000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
6.4. Назовем натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdefab cd ef для некоторого шестизначного числа abade f. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n < 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью Я рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%,…, n-й — 1 %, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться 5, если существует единственное п, при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
900
910
920
925
950
970
7. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n < 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью Я рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — 1%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
700
720
725
760
770
790
7.3. Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив п 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью 5 рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, п-й 1%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться 5, если существует единственное п при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
600
620
625
630
670
680
8. Окружности w1 и w2 имеют радиус 3 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность w3 — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом w1 и w2 лежащая внутри этих окружностей. Окружность w4 касается внутренним образом w1 и внешним w3. Найдите радиус окружности w4.
11 класс
1. Вика пошла в гости к своей подруге Ане. Вика помнит, что Аня живёт в 143-й квартире, причём в седьмом или восьмом подъезде. Ещё известно, что дом Ани пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Аня? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на втором этаже пятого подъезда.
Ответ: 1, 96
1.2. Артём пошёл в гости к своему другу Яну. Артём помнит, что Ян живёт в 79-й квартире, причём в пятом или шестом подъезде. Ещё известно, что дом Яна пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Ян? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на первом этаже четвёртого подъезда.
Ответ: этаж: 2 Наибольший номер квартиры: 48
1.3. Вова пошёл в гости к своему другу Саше. Вова помнит, что Саша живёт в 58-й квартире, причём в четвёртом или пятом подъезде. Ещё известно, что дом друга пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на третьем этаже третьего подъезда.
Ответ: этаж: 4. Наибольший номер квартиры: 39
1.4. Витя пошёл в гости к своему другу Феде. Витя помнит, что Федя живёт в 111-й квартире, причём в шестом или седьмом подъезде. Ещё известно, что дом Феди пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Федя? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на четвёртом этаже четвёртого подъезда.
Ответ: Этаж: 3, Квартира: 76
2. Саша и Костя купили себе по 28 пар носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Ответ: 8
2.2. Саша и Костя купили себе по 34 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Ответ: 26
2.3. Саша и Костя купили себе по 23 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые -в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Ответ: 6
2.4. Саша и Костя купили себе по 21 паре носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Ответ: 15
3. Последовательность (а) определена следующим образом: a1 = 1, a10=55, an+2 = 2an+1 — an для всех натуральных п. Найдите а3. Найдите сумму а1 +а2+ … + a100.
Ответ: а-13, б-29800
4. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2046. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 15? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: Наибольшее 407. Наименьшее 5.
4.2. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2067. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 21? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: Наибольшее количество: 99 Наименьшее число: 7
4.3. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2074. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 24? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: наибольшее 86. Наименьшее число в наборе: 8 и 24
4.4. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2025. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 18? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 113, 6
5. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС точка М — середина АС, N — середина ВС. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке К. Найдите AB +2KN, если BC = 18, tg ACB 40/9
Ответ: 82
6. Решите уравнение в натуральных числах: 2×2+5y2-4xy+7=8x+2y. Для каждой пары решений (х; у) в ответ напишите сумму х + у. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7. В тетраэдре АВСD рёбра AD и ВС перпендикулярны. Пусть АН И DE- высоты тетраэдра. Найдите НЕ, если известно, что AD = 16, а угол между плоскостями АВС и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
8. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать № способами. Каким числам НЕ может равняться №? Выберите все подходящие варианты.
16 октября 2025 олимпиада по математике 7-11 класс Сириус 4 группа Алтайский край 65. Амурская область 66. Еврейская автономная область 67. Забайкальский край 68. Иркутская область 69. Камчатский край 70. Кемеровская область — Кузбасс 71. Красноярский край 72. Магаданская область 73. Новосибирская область 74. Приморский край 75. Республика Алтай 76. Республика Бурятия 77. Республика Саха (Якутия) 78. Республика Тыва 79. Республика Хакасия 80. Сахалинская область 81. Томская область 82. Хабаровский край 83. Чукотский автономный округ.
Смотрите на сайте олимпиады:
15 октября 2025 Олимпиада Сириус по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс
