Олимпиада по математике 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс онлайн 26, 27, 28 сентября 2026 ответы и решения ко всем заданиям школьного этапа всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для Московской области дата проведения олимпиады на официальной платформе взлёт 2026-2027 учебный год. Пройти олимпиаду нужно не позднее 19:00.
4 класс
1. Две Василисы
На прямолинейной дороге между домами Василисы Прекрасной и Василисы Премудрой растут три яблони с молодильными яблоками. Василиса Прекрасная посчитала расстояния от своего дома до каждой из трёх яблонь. Сумма этих расстояний получилась равной 2100 м. А Василиса Премудрая посчитала, что сумма расстояний от её дома до этих яблонь равна 1200 м. Сколько метров между домами Василисы Премудрой и Василисы Прекрасной?
Ответ: 1100
1.2 На прямолинейной дороге между домами Василисы Прекрасной и Василисы Премудрой растут три яблони с молодильными яблоками. Василиса Прекрасная посчитала расстояния от своего дома до каждой из трёх яблонь. Сумма этих расстояний получилась равной 1500 м. А Василиса Премудрая посчитала, что сумма расстояний от её дома до этих яблонь равна 900 м. Сколько метров между домами Василисы Премудрой и Василисы Прекрасной?
Ответ: 800
1.3 На прямолинейной дороге между домами Василисы Прекрасной и Василисы Премудрой растут три яблони с молодильными яблоками. Василиса Прекрасная посчитала расстояния от своего дома до каждой из трёх яблонь. Сумма этих расстояний получилась равной 1200 м. А Василиса Премудрая посчитала, что сумма расстояний от её дома до этих яблонь равна 1050 м. Сколько метров между домами Василисы Премудрой и Василисы Прекрасной?
Ответ: 750
1.4 На прямолинейной дороге между домами Василисы Прекрасной и Василисы Премудрой растут три яблони с молодильными яблоками. Василиса Прекрасная посчитала расстояния от своего дома до каждой из трёх яблонь. Сумма этих расстояний получилась равной 1020 м. А Василиса Премудрая посчитала, что сумма расстояний от её дома до этих яблонь равна 780 м. Сколько метров между домами Василисы Премудрой и Василисы Прекрасной?
Ответ: 600
1.5. На прямолинейной дороге между домами Василисы Прекрасной и Василисы Премудрой растут три яблони с молодильными яблоками. Василиса Прекрасная посчитала расстояния от своего дома до каждой из трёх яблонь. Сумма этих расстояний получилась равной 1140 м. А Василиса Премудрая посчитала, что сумма расстояний от её дома до этих яблонь равна 960 м. Сколько метров между домами Василисы Премудрой и Василисы Прекрасной?
Ответ: 700
2. Загадочная цифра
Марья Моревна записала в Волшебной книге в порядке возрастания четыре числа: 46X2, X663, 6X74, 66X5. Какую цифру Марья Моревна могла принять за X?
- Сколько вариантов ответа в этой задаче?
Ответ: 2
- Какую цифру Марья Моревна могла принять за X? Если вариантов ответа получилось несколько, то запишите произведение всех полученных значений X.
Ответ: 20
1.2 Марья Моревна записала в Волшебной книге в порядке возрастания четыре числа: 46X3, X664, 6X73, 66X5. Какую цифру Марья Моревна могла принять за X? Сколько вариантов ответа в этой задаче? Какую цифру Марья Моревна могла принять за X?
Ответ: 2, 20
1.3. Марья Моревна записала в Волшебной книге в порядке возрастания четыре числа: 35X4, X553, 5X62, 55X6. Какую цифру Марья Моревна могла принять за X? Сколько вариантов ответа в этой задаче? Какую цифру Марья Моревна могла принять за X?
Ответ: 2, 12
1.4. Марья Моревна записала в Волшебной книге в порядке возрастания четыре числа: 47X3, X774, 6X85, 66X6. Какую цифру Марья Моревна могла принять за X? Сколько вариантов ответа в этой задаче? Какую цифру Марья Моревна могла принять за X?
Ответ: 2, 20
1.5. Марья Моревна записала в Волшебной книге в порядке возрастания четыре числа: 48X4, X885, 6X96, 66X7. Какую цифру Марья Моревна могла принять за X? Сколько вариантов ответа в этой задаче? Какую цифру Марья Моревна могла принять за X
Ответ: 2, 20
3. Волшебный посох
Снегурочка разглядывала волшебный посох Деда Мороза и обнаружила на посохе разноцветные магические кольца серебряного, золотого и белого цвета. Она посчитала, что если разрезать посох по серебряным кольцам, то посох распадётся на 10 частей. Если разрезать посох по золотым кольцам, то он распадётся на 14 частей, а если по белым – то на 20 частей. На сколько частей распадётся посох Деда Мороза, если его разрезать по кольцам всех трёх цветов?
Ответ: 42
3.2 Снегурочка разглядывала волшебный посох Деда Мороза и обнаружила на посохе разноцветные магические кольца серебряного, золотого и белого цвета. Она посчитала, что если разрезать посох по серебряным кольцам, то посох распадётся на 5 частей. Если разрезать посох по золотым кольцам, то он распадётся на 11 частей, а если по белым – то на 17 частей. На сколько частей распадётся посох Деда Мороза, если его разрезать по кольцам всех трёх цветов?
Ответ: 31
3.3. Снегурочка разглядывала волшебный посох Деда Мороза и обнаружила на посохе разноцветные магические кольца серебряного, золотого и белого цвета. Она посчитала, что если разрезать посох по серебряным кольцам, то посох распадётся на 7 частей. Если разрезать посох по золотым кольцам, то он распадётся на 13 частей, а если по белым – то на 19 частей. На сколько частей распадётся посох Деда Мороза, если его разрезать по кольцам всех трёх цветов?
Ответ: 37
3.4. Снегурочка разглядывала волшебный посох Деда Мороза и обнаружила на посохе разноцветные магические кольца серебряного, золотого и белого цвета. Она посчитала, что если разрезать посох по серебряным кольцам, то посох распадётся на 9 частей. Если разрезать посох по золотым кольцам, то он распадётся на 15 частей, а если по белым – то на 21 часть. На сколько частей распадётся посох Деда Мороза, если его разрезать по кольцам всех трёх цветов?
Ответ: 43
4. Зелье бабы Яги
Для приготовления волшебного зелья бабе Яге потребовалось взвесить ингредиенты по рецепту. Она взяла двухчашечные весы и положила на одну чашу 5 волчьих ягод, а на другую 4 корешка папоротника – и весы оказались в равновесии. Затем она сняла со второй чаши 2 корешка папоротника, а на первую чашу вместо всех ягод положила 3 волшебных каштана. Весы снова оказались в равновесии. В третий раз она положила на одну из чаш весов 6 волшебных каштанов – и оказалось, что они весят столько же, сколько и 4 шляпки мухоморов.
- Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 10 волчьих ягод?
Ответ: 8
- Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 4 корешка папоротника?
Ответ: 4
- Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить вместе 10 волчьих ягод и 4 корешка папоротника?
Ответ: 12
4.2. Для приготовления волшебного зелья бабе Яге потребовалось взвесить ингредиенты по рецепту. Она взяла двухчашечные весы и положила на одну чашу 5 волчьих ягод, а на другую 4 корешка папоротника – и весы оказались в равновесии. Затем она сняла со второй чаши 2 корешка папоротника, а на первую чашу вместо всех ягод положила 3 волшебных каштана. Весы снова оказались в равновесии. В третий раз она положила на одну из чаш весов 2 волшебных каштана – и оказалось, что они весят столько же, сколько и 5 шляпок мухоморов. Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 10 волчьих ягод? Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 4 корешка папоротника? Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить вместе 10 волчьих ягод и 4 корешка папоротника?
Ответ: 30, 15, 45
4.3. Для приготовления волшебного зелья бабе Яге потребовалось взвесить ингредиенты по рецепту. Она взяла двухчашечные весы и положила на одну чашу 4 волчьи ягоды, а на другую 3 корешка папоротника – и весы оказались в равновесии. Затем она сняла со второй чаши 1 корешок папоротника, а на первую чашу вместо всех ягод положила 2 волшебных каштана. Весы снова оказались в равновесии. В третий раз она положила на одну из чаш весов 1 волшебный каштан – и оказалось, что он весит столько же, сколько и 2 шляпки мухоморов. Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 8 волчьих ягод? Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 3 корешка папоротника? Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить вместе 8 волчьих ягод и 3 корешка папоротника?
Ответ: 12, 6, 18
4.4 Для приготовления волшебного зелья бабе Яге потребовалось взвесить ингредиенты по рецепту. Она взяла двухчашечные весы и положила на одну чашу 3 волчьи ягоды, а на другую 2 корешка папоротника – и весы оказались в равновесии. Затем она сняла со второй чаши 1 корешок папоротника, а на первую чашу вместо всех ягод положила 2 волшебных каштана. Весы снова оказались в равновесии. В третий раз она положила на одну из чаш весов 1 волшебный каштан – и оказалось, что они весят столько же, сколько и 3 шляпки мухомороов. Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 6 волчьих ягод? Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 2 корешка папоротника? Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить вместе 6 волчьих ягод и 2 корешка папоротника?
Ответ: 24, 12, 36
4.5. Для приготовления волшебного зелья бабе Яге потребовалось взвесить ингредиенты по рецепту. Она взяла двухчашечные весы и положила на одну чашу 6 волчьих ягод, а на другую 5 корешков папоротника – и весы оказались в равновесии. Затем она сняла со второй чаши 2 корешка папоротника, а на первую чашу вместо всех ягод положила 3 волшебных каштана. Весы снова оказались в равновесии. В третий раз она положила на одну из чаш весов 1 волшебный каштан – и оказалось, что он весит столько же, сколько и 5 шляпок мухоморов. Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 12 волчьих ягод? Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить 5 корешков папоротника? Сколько шляпок мухоморов нужно положить на вторую чашу весов, чтобы уравновесить вместе 12 волчьих ягод и 5 корешков папоротника?
Ответ: 50, 25, 75
5. Волшебная книга
Марья Моревна вновь открыла Волшебную книгу и записала в неё своё любимое число. Каждую минуту Волшебная книга стирала записанное число, а Марья Моревна мгновенно записывала вместо него новое, либо увеличивая предыдущее на 6, либо деля его на 3. Через три минуты в книге оказалось написано число 7. Все числа, появлявшиеся в книге, были больше 1 и меньше 30.
- Чему равно любимое число Марьи Моревны?
- Сколько раз в течение этих трёх минут Марья Моревна делила предыдущее число на 3?
- Сколько раз в течение этих трёх минут Марья Моревна увеличивала предыдущее число на 6?
6. Магический квадрат
Царь дал Ивану-царевичу задание: заполнить магический квадрат (квадрат 3×3 с написанными в его клетках числами так, что суммы по всем строкам, столбцам и двум диагоналям равны между собой), но в квадрате было известно лишь четыре числа.
«Не печалься, Иван-царевич» – молвила Царевна-лягушка. «Утро вечера мудренее. Ложись спать. А наутро всё само и заполнится». Послушался Иван-царевич Царевну-лягушку. А утром действительно магический квадрат был заполнен.
- Какое число расположено в правом верхнем углу магического квадрата?
- Какое число расположено в средней верхней ячейке магического квадрата?
- Какое число расположено в правой средней ячейке магического квадрата?
- Какое число расположено в левом нижнем углу магического квадрата?
- Какое число расположено в левой средней ячейке магического квадрата?
7. Рыбалка Емели
Емеля три дня рыбачил. От его дома до реки вела только одна дорога. В первый день он шёл пешком до речки и обратно, потратив на весь путь суммарно 1 час 12 мин. Во второй день он поехал на рыбалку на печи, а обратно пошёл пешком, потратив на весь путь 48 минут. В третий день Емеля совсем устал и решил и туда и обратно доехать на печи. Емеля идёт пешком всегда с одной и той же постоянной скоростью, а печка едет всегда с одной и той же своей постоянной скоростью.
- Сколько минут потратил Емеля на дорогу до речки и обратно в третий день?
- Во сколько раз скорость печки больше скорости Емели?
8. Очередь за пирожками
Бабка решила отблагодарить Мышку, Кошку, Жучку, Внучку и Дедку за вытянутую репку – и напекла пирожков. Все выстроились в очередь за пирожками. Дедка встал впереди Кошки, но позади Мышки. Внучка и Мышка не находились рядом. Жучка не стояла рядом ни с Дедкой, ни с Внучкой, ни с Мышкой. В каком порядке (считая от начала очереди) стояли герои сказки в очереди за пирожками?
Сопоставьте номер в очереди и имя персонажа.
- первый
- второй
- третий
- четвертый
- пятый
Перетащите элементы на пустые поля сверху
- Жучка
- Внучка
- Мышка
- Дедка
- Кошка
→ Посмотреть все задания и ответы
5 класс
Царь поручил своему гонцу надеть сапоги-скороходы и доставить пять срочных писем своим пяти сыновьям. Скороход справился за 2 часа. При этом первое письмо он доставлял в 3 раза быстрее, чем четвёртое. Второе письмо гонец доставлял в 2 раза дольше первого, а третье — в 2 раза быстрее пятого. Пятое письмо он доставлял в 2 раза дольше второго. Сколько времени потратил гонец на доставку каждого письма?
1. Сколько минут потратил гонец на доставку первого письма?
2. Сколько минут потратил гонец на доставку второго письма?
3. Сколько минут потратил гонец на доставку третьего письма?
4. Сколько минут потратил гонец на доставку четвёртого письма?
5. Сколько минут потратил гонец на доставку пятого письма?
Ответ: 1) 10; 2) 20; 3) 20; 4) 30; 5) 40 (минуты).
1.2 Царь поручил своему гонцу надеть сапоги-скороходы и доставить пять срочных писем своим пяти сыновьям. Скороход справился за 2 часа 10 минут. При этом первое письмо он доставлял в 4 раза быстрее, чем четвёртое. Второе письмо гонец доставлял в 2 раза дольше первого, а третье — в 2 раза быстрее пятого. Пятое письмо он доставлял в 2 раза дольше второго. Сколько времени потратил гонец на доставку каждого письма?
1. Сколько минут потратил гонец на доставку первого письма?
2. Сколько минут потратил гонец на доставку второго письма?
3. Сколько минут потратил гонец на доставку третьего письма?
4. Сколько минут потратил гонец на доставку четвёртого письма?
5. Сколько минут потратил гонец на доставку пятого письма?
Ответ: 1) 10; 2) 20; 3) 20; 4) 40; 5) 40 (минуты).
1.3 Царь поручил своему гонцу надеть сапоги-скороходы и доставить пять срочных писем своим пяти сыновьям. Скороход справился за 2 часа 20 минут. При этом первое письмо он доставлял в 2 раза быстрее, чем четвёртое. Второе письмо гонец доставлял в 2 раза дольше первого, а третье — в 2 раза быстрее пятого. Пятое письмо он доставлял в 3 раза дольше второго. Сколько времени потратил гонец на доставку каждого письма?
1. Сколько минут потратил гонец на доставку первого письма?
2. Сколько минут потратил гонец на доставку второго письма?
3. Сколько минут потратил гонец на доставку третьего письма?
4. Сколько минут потратил гонец на доставку четвёртого письма?
5. Сколько минут потратил гонец на доставку пятого письма?
Ответ: 1) 10; 2) 20; 3) 30; 4) 20; 5) 60 (минуты).
1.4 Царь поручил своему гонцу надеть сапоги-скороходы и доставить пять срочных писем своим пяти сыновьям. Скороход справился за 2 часа 50 минут. При этом первое письмо он доставлял в 5 раз быстрее, чем четвёртое. Второе письмо гонец доставлял в 2 раза дольше первого, а третье — в 2 раза быстрее пятого. Пятое письмо он доставлял в 3 раза дольше второго. Сколько времени потратил гонец на доставку каждого письма?
1. Сколько минут потратил гонец на доставку первого письма?
2. Сколько минут потратил гонец на доставку второго письма?
3. Сколько минут потратил гонец на доставку третьего письма?
4. Сколько минут потратил гонец на доставку четвёртого письма?
5. Сколько минут потратил гонец на доставку пятого письма?
Ответ: 1) 10; 2) 20; 3) 30; 4) 50; 5) 60 (минуты).
1.5 Царь поручил своему гонцу надеть сапоги-скороходы и доставить пять срочных писем своим пяти сыновьям. Скороход справился за 2 часа 30 минут. При этом первое письмо он доставлял в 3 раза быстрее, чем четвёртое. Второе письмо гонец доставлял в 3 раза дольше первого, а третье — в 3 раза быстрее пятого. Пятое письмо он доставлял в 2 раза дольше второго. Сколько времени потратил гонец на доставку каждого письма?
1. Сколько минут потратил гонец на доставку первого письма?
2. Сколько минут потратил гонец на доставку второго письма?
3. Сколько минут потратил гонец на доставку третьего письма?
4. Сколько минут потратил гонец на доставку четвёртого письма?
5. Сколько минут потратил гонец на доставку пятого письма?
Ответ: 1) 10; 2) 30; 3) 20; 4) 30; 5) 60 (минуты).
2. Скатерть-самобранка
Скатерть-самобранка имеет форму прямоугольника длиной 3 м и шириной 2 м. Василиса Прекрасная обшила скатерть-самобранку золотыми нитями. Она сделала золотые кисти на расстоянии 5 дм друг от друга по краям скатерти по всему периметру, в том числе по одной кисти в каждом из четырёх углов.
1. Сколько всего кистей было пришито на скатерти после окончания работы Василисой Прекрасной?
2. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по длинной стороне?
3. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по короткой стороне?
Ответ: 1) 20; 2) 7; 3) 5.
2.2 Скатерть-самобранка имеет форму прямоугольника длиной 4 м и шириной 2 м. Василиса Прекрасная обшила скатерть-самобранку золотыми нитями. Она сделала золотые кисти на расстоянии 4 дм друг от друга по краям скатерти по всему периметру, в том числе по одной кисти в каждом из четырёх углов.
1. Сколько всего кистей было пришито на скатерти после окончания работы Василисой Прекрасной?
2. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по длинной стороне?
3. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по короткой стороне?
Ответ: 1) 30; 2) 11; 3) 6.
2.3 Скатерть-самобранка имеет форму прямоугольника длиной 6 м и шириной 2 м. Василиса Прекрасная обшила скатерть-самобранку золотыми нитями. Она сделала золотые кисти на расстоянии 4 дм друг от друга по краям скатерти по всему периметру, в том числе по одной кисти в каждом из четырёх углов.
1. Сколько всего кистей было пришито на скатерти после окончания работы Василисой Прекрасной?
2. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по длинной стороне?
3. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по короткой стороне?
Ответ: 1) 40; 2) 16; 3) 6.
2.4 Скатерть-самобранка имеет форму прямоугольника длиной 4 м и шириной 3 м. Василиса Прекрасная обшила скатерть-самобранку золотыми нитями. Она сделала золотые кисти на расстоянии 5 дм друг от друга по краям скатерти по всему периметру, в том числе по одной кисти в каждом из четырёх углов.
1. Сколько всего кистей было пришито на скатерти после окончания работы Василисой Прекрасной?
2. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по длинной стороне?
3. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по короткой стороне?
Ответ: 1) 28; 2) 9; 3) 7.
2.5 Скатерть-самобранка имеет форму прямоугольника длиной 5 м и шириной 3 м. Василиса Прекрасная обшила скатерть-самобранку золотыми нитями. Она сделала золотые кисти на расстоянии 5 дм друг от друга по краям скатерти по всему периметру, в том числе по одной кисти в каждом из четырёх углов.
1. Сколько всего кистей было пришито на скатерти после окончания работы Василисой Прекрасной?
2. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по длинной стороне?
3. Сколько кистей (считая угловые кисти) оказалось пришито на скатерти по короткой стороне?
Ответ: 1) 32; 2) 11; 3) 7.
3. Жар-птица
Жар-птица повадилась летать в чудесный сад за молодильными яблочками с волшебной яблони. Собирая яблочки, она заметила, что на яблоне растут одноцветные, двухцветные и трёхцветные яблочки, а цвета: красный, жёлтый и зелёный. В один прекрасный день Жар-птица решила пересчитать собранные яблочки и цвета на них. Оказалось, что яблочек с красным цветом суммарно было 50, с зелёным цветом – 40, а с жёлтым цветом – 30 штук. Но при этом одноцветных яблочек было столько же, сколько яблочек с двумя цветами, и столько же, сколько яблочек с тремя цветами.
1. Сколько было одноцветных молодильных яблочек?
2. Сколько всего было молодильных яблочек?
Ответ: 1) 20; 2) 60.
3.2 Жар-птица повадилась летать в чудесный сад за молодильными яблочками с волшебной яблони. Собирая яблочки, она заметила, что на яблоне растут одноцветные, двухцветные и трёхцветные яблочки, а цвета: красный, жёлтый и зелёный. В один прекрасный день Жар-птица решила пересчитать собранные яблочки и цвета на них. Оказалось, что яблочек с красным цветом суммарно было 40, с зелёным цветом – 30, а с жёлтым цветом – 20 штук. Но при этом одноцветных яблочек было столько же, сколько яблочек с двумя цветами, и столько же, сколько яблочек с тремя цветами.
1. Сколько было одноцветных молодильных яблочек?
2. Сколько всего было молодильных яблочек?
Ответ: 1) 15; 2) 45.
3.3 Жар-птица повадилась летать в чудесный сад за молодильными яблочками с волшебной яблони. Собирая яблочки, она заметила, что на яблоне растут одноцветные, двухцветные и трёхцветные яблочки, а цвета: красный, жёлтый и зелёный. В один прекрасный день Жар-птица решила пересчитать собранные яблочки и цвета на них. Оказалось, что яблочек с красным цветом суммарно было 70, с зелёным цветом – 60, а с жёлтым цветом – 50 штук. Но при этом одноцветных яблочек было столько же, сколько яблочек с двумя цветами, и столько же, сколько яблочек с тремя цветами.
1. Сколько было одноцветных молодильных яблочек?
2. Сколько всего было молодильных яблочек?
Ответ: 1) 30; 2) 90.
3.4 Жар-птица повадилась летать в чудесный сад за молодильными яблочками с волшебной яблони. Собирая яблочки, она заметила, что на яблоне растут одноцветные, двухцветные и трёхцветные яблочки, а цвета: красный, жёлтый и зелёный. В один прекрасный день Жар-птица решила пересчитать собранные яблочки и цвета на них. Оказалось, что яблочек с красным цветом суммарно было 25, с зелёным цветом – 20, а с жёлтым цветом – 15 штук. Но при этом одноцветных яблочек было столько же, сколько яблочек с двумя цветами, и столько же, сколько яблочек с тремя цветами.
1. Сколько было одноцветных молодильных яблочек?
2. Сколько всего было молодильных яблочек?
Ответ: 1) 10; 2) 30.
3.5 Жар-птица повадилась летать в чудесный сад за молодильными яблочками с волшебной яблони. Собирая яблочки, она заметила, что на яблоне растут одноцветные, двухцветные и трёхцветные яблочки, а цвета: красный, жёлтый и зелёный. В один прекрасный день Жар-птица решила пересчитать собранные яблочки и цвета на них. Оказалось, что яблочек с красным цветом суммарно было 60, с зелёным цветом – 50, а с жёлтым цветом – 40 штук. Но при этом одноцветных яблочек было столько же, сколько яблочек с двумя цветами, и столько же, сколько яблочек с тремя цветами.
1. Сколько было одноцветных молодильных яблочек?
2. Сколько всего было молодильных яблочек?
Ответ: 1) 25; 2) 75.
4. Канат
Жучка, Кошка, Мышка и Внучка после того как помогли Бабке и Дедке вытянуть репку, решили продолжить занятия физкультурой и пошли перетягивать канат. Жучка, Кошка и Мышка ухватились за канат и приготовились его тянуть, а Внучка ухватилась за канат точно посередине между Кошкой и Жучкой. Расстояние между Мышкой и Кошкой оказалось равным 40 см, а между Кошкой и Жучкой – 1 м. Сколько сантиметров может составлять расстояние между Мышкой и Внучкой?
1. Сколько вариантов ответа в этой задаче?
2. Запишите все возможные варианты ответа в этой задаче, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов и без знаков препинания.
Ответ: 1) 2; 2) 1090 (расстояния 10 см и 90 см).
4.2 Жучка, Кошка, Мышка и Внучка после того как помогли Бабке и Дедке вытянуть репку, решили продолжить занятия физкультурой и пошли перетягивать канат. Жучка, Кошка и Мышка ухватились за канат и приготовились его тянуть, а Внучка ухватилась за канат точно посередине между Кошкой и Жучкой. Расстояние между Мышкой и Кошкой оказалось равным 30 см, а между Кошкой и Жучкой – 80 см. Сколько сантиметров может составлять расстояние между Мышкой и Внучкой?
1. Сколько вариантов ответа в этой задаче?
2. Запишите все возможные варианты ответа в этой задаче, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов и без знаков препинания.
Ответ: 1) 2; 2) 1070 (расстояния 10 см и 70 см).
4.3 Жучка, Кошка, Мышка и Внучка после того как помогли Бабке и Дедке вытянуть репку, решили продолжить занятия физкультурой и пошли перетягивать канат. Жучка, Кошка и Мышка ухватились за канат и приготовились его тянуть, а Внучка ухватилась за канат точно посередине между Кошкой и Жучкой. Расстояние между Мышкой и Кошкой оказалось равным 50 см, а между Кошкой и Жучкой – 1 м 20 см. Сколько сантиметров может составлять расстояние между Мышкой и Внучкой?
1. Сколько вариантов ответа в этой задаче?
2. Запишите все возможные варианты ответа в этой задаче, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов и без знаков препинания.
Ответ: 1) 2; 2) 10110 (расстояния 10 см и 110 см).
4.4 Жучка, Кошка, Мышка и Внучка после того как помогли Бабке и Дедке вытянуть репку, решили продолжить занятия физкультурой и пошли перетягивать канат. Жучка, Кошка и Мышка ухватились за канат и приготовились его тянуть, а Внучка ухватилась за канат точно посередине между Кошкой и Жучкой. Расстояние между Мышкой и Кошкой оказалось равным 30 см, а между Кошкой и Жучкой – 1 м. Сколько сантиметров может составлять расстояние между Мышкой и Внучкой?
1. Сколько вариантов ответа в этой задаче?
2. Запишите все возможные варианты ответа в этой задаче, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов и без знаков препинания.
Ответ: 1) 2; 2) 2080 (расстояния 20 см и 80 см).
4.5 Жучка, Кошка, Мышка и Внучка после того как помогли Бабке и Дедке вытянуть репку, решили продолжить занятия физкультурой и пошли перетягивать канат. Жучка, Кошка и Мышка ухватились за канат и приготовились его тянуть, а Внучка ухватилась за канат точно посередине между Кошкой и Жучкой. Расстояние между Мышкой и Кошкой оказалось равным 20 см, а между Кошкой и Жучкой – 60 см. Сколько сантиметров может составлять расстояние между Мышкой и Внучкой?
1. Сколько вариантов ответа в этой задаче?
2. Запишите все возможные варианты ответа в этой задаче, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов и без знаков препинания.
Ответ: 1) 2; 2) 1050 (расстояния 10 см и 50 см).
5. Заклинание
Однажды Баба-Яга попросила Кощея Бессмертного вспомнить слова из волшебного заклинания. Чтобы подбодрить его, она дарила ему 4 золотые монеты за каждое верное слово, но была строга – и за каждое неверное слово отнимала 6 золотых монет. Кощей произнёс всего 20 слов. Сначала у него было 100 монет, а в конце оказалось 120.
1. Сколько верных слов из волшебного заклинания назвал Кощей?
2. Сколько неверных слов произнёс Кощей?
Ответ: 1) 14; 2) 6.
5.2 Однажды Баба-Яга попросила Кощея Бессмертного вспомнить слова из волшебного заклинания. Чтобы подбодрить его, она дарила ему 5 золотых монет за каждое верное слово, но была строга – и за каждое неверное слово отнимала 3 золотые монеты. Кощей произнёс всего 12 слов. Сначала у него было 50 монет, а в конце оказалось 70.
1. Сколько верных слов из волшебного заклинания назвал Кощей?
2. Сколько неверных слов произнёс Кощей?
Ответ: 1) 7; 2) 5.
5.3 Однажды Баба-Яга попросила Кощея Бессмертного вспомнить слова из волшебного заклинания. Чтобы подбодрить его, она дарила ему 3 золотые монеты за каждое верное слово, но была строга – и за каждое неверное слово отнимала 5 золотых монет. Кощей произнёс всего 16 слов. Сначала у него было 60 монет, а в конце оказалось 68.
1. Сколько верных слов из волшебного заклинания назвал Кощей?
2. Сколько неверных слов произнёс Кощей?
Ответ: 1) 11; 2) 5.
5.4 Однажды Баба-Яга попросила Кощея Бессмертного вспомнить слова из волшебного заклинания. Чтобы подбодрить его, она дарила ему 7 золотых монет за каждое верное слово, но была строга – и за каждое неверное слово отнимала 3 золотые монеты. Кощей произнёс всего 20 слов. Сначала у него было 100 монет, а в конце оказалось 150.
1. Сколько верных слов из волшебного заклинания назвал Кощей?
2. Сколько неверных слов произнёс Кощей?
Ответ: 1) 11; 2) 9.
5.5 Однажды Баба-Яга попросила Кощея Бессмертного вспомнить слова из волшебного заклинания. Чтобы подбодрить его, она дарила ему 6 золотых монет за каждое верное слово, но была строга – и за каждое неверное слово отнимала 4 золотые монеты. Кощей произнёс всего 25 слов. Сначала у него было 90 монет, а в конце оказалось 130.
1. Сколько верных слов из волшебного заклинания назвал Кощей?
2. Сколько неверных слов произнёс Кощей?
Ответ: 1) 14; 2) 11.
6. Волшебный ковёр
Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя три цвета нитей: красный, синий и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей красных, зелёных и синих частей ковра. Помогите Ивану-царевичу, зная, что на схеме сторона одной клетки равна 3 дм.
1. Чему равна сумма площадей синих частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
3. Чему равна сумма площадей красных частей? Ответ дайте в дм².
6.2 Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя три цвета нитей: оранжевый, жёлтый и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей оранжевых, зелёных и жёлтых частей ковра. Помогите Ивану-царевичу, зная, что на схеме сторона одной клетки равна 2 дм.
Схема на клетчатой сетке: прямоугольный ковёр, разделённый на оранжевые, зелёные и жёлтые части в форме трапеций и треугольников. Изображение схемы не приложено.
1. Чему равна сумма площадей жёлтых частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
3. Чему равна сумма площадей оранжевых частей? Ответ дайте в дм².
6.3 Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя три цвета нитей: оранжевый, жёлтый и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей оранжевых, зелёных и жёлтых частей ковра. Помогите Ивану-царевичу, зная, что на схеме сторона одной клетки равна 3 дм.
Схема на клетчатой сетке: прямоугольный ковёр, разделённый на оранжевые, зелёные и жёлтые части в форме трапеций и треугольников. Изображение схемы не приложено.
1. Чему равна сумма площадей жёлтых частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
3. Чему равна сумма площадей оранжевых частей? Ответ дайте в дм².
6.4 Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя три цвета нитей: оранжевый, жёлтый и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей оранжевых, зелёных и жёлтых частей ковра. Помогите Ивану-царевичу, зная, что на схеме сторона одной клетки равна 4 дм.
Схема на клетчатой сетке: прямоугольный ковёр, разделённый на оранжевые, зелёные и жёлтые части в форме трапеций и треугольников. Изображение схемы не приложено.
1. Чему равна сумма площадей жёлтых частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
3. Чему равна сумма площадей оранжевых частей? Ответ дайте в дм².
6.5 Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя три цвета нитей: красный, синий и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей красных, зелёных и синих частей ковра. Помогите Ивану-царевичу, зная, что на схеме сторона одной клетки равна 2 дм.
Схема на клетчатой сетке: прямоугольный ковёр, разделённый на красные, зелёные и синие части в форме трапеций и треугольников. Изображение схемы не приложено.
1. Чему равна сумма площадей синих частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
3. Чему равна сумма площадей красных частей? Ответ дайте в дм².
7. Урок математики
Царь Берендей решил позаниматься математикой с сыновьями Дмитрием-царевичем и Василием-царевичем. Он выдал каждому сыну одинаковый набор из четырёх карточек с цифрами 0, 2, 2 и 5 на них. Берендей сказал, что каждый должен будет составить из своих карточек два числа, а затем их перемножить. Каждый царевич должен был обязательно использовать все четыре свои карточки, числа не могли начинаться с нуля, но при этом два составленных числа могли иметь как одинаковое, так и разное количество разрядов. Берендей дал задание составить числа так, чтобы у Дмитрия-царевича значение произведения было наибольшим из всех возможных, а у Василия-царевича – наименьшим из всех возможных. Царевичи справились с этим заданием.
1. Чему равно произведение у Дмитрия-царевича?
2. Чему равно произведение у Василия-царевича?
7.2 Царь Берендей решил позаниматься математикой с сыновьями Дмитрием-царевичем и Василием-царевичем. Он выдал каждому сыну одинаковый набор из четырёх карточек с цифрами 0, 1, 1 и 4 на них. Берендей сказал, что каждый должен будет составить из своих карточек два числа, а затем их перемножить. Каждый царевич должен был обязательно использовать все четыре свои карточки, числа не могли начинаться с нуля, но при этом два составленных числа могли иметь как одинаковое, так и разное количество разрядов. Берендей дал задание составить числа так, чтобы у Дмитрия-царевича значение произведения было наибольшим из всех возможных, а у Василия-царевича – наименьшим из всех возможных. Царевичи справились с этим заданием.
1. Чему равно произведение у Дмитрия-царевича?
2. Чему равно произведение у Василия-царевича?
7.3 Царь Берендей решил позаниматься математикой с сыновьями Дмитрием-царевичем и Василием-царевичем. Он выдал каждому сыну одинаковый набор из четырёх карточек с цифрами 0, 2, 2 и 3 на них. Берендей сказал, что каждый должен будет составить из своих карточек два числа, а затем их перемножить. Каждый царевич должен был обязательно использовать все четыре свои карточки, числа не могли начинаться с нуля, но при этом два составленных числа могли иметь как одинаковое, так и разное количество разрядов. Берендей дал задание составить числа так, чтобы у Дмитрия-царевича значение произведения было наибольшим из всех возможных, а у Василия-царевича – наименьшим из всех возможных. Царевичи справились с этим заданием.
1. Чему равно произведение у Дмитрия-царевича?
2. Чему равно произведение у Василия-царевича?
7.4 Царь Берендей решил позаниматься математикой с сыновьями Дмитрием-царевичем и Василием-царевичем. Он выдал каждому сыну одинаковый набор из четырёх карточек с цифрами 0, 3, 4 и 4 на них. Берендей сказал, что каждый должен будет составить из своих карточек два числа, а затем их перемножить. Каждый царевич должен был обязательно использовать все четыре свои карточки, числа не могли начинаться с нуля, но при этом два составленных числа могли иметь как одинаковое, так и разное количество разрядов. Берендей дал задание составить числа так, чтобы у Дмитрия-царевича значение произведения было наибольшим из всех возможных, а у Василия-царевича – наименьшим из всех возможных. Царевичи справились с этим заданием.
1. Чему равно произведение у Дмитрия-царевича?
2. Чему равно произведение у Василия-царевича?
7.5 Царь Берендей решил позаниматься математикой с сыновьями Дмитрием-царевичем и Василием-царевичем. Он выдал каждому сыну одинаковый набор из четырёх карточек с цифрами 0, 3, 3 и 5 на них. Берендей сказал, что каждый должен будет составить из своих карточек два числа, а затем их перемножить. Каждый царевич должен был обязательно использовать все четыре свои карточки, числа не могли начинаться с нуля, но при этом два составленных числа могли иметь как одинаковое, так и разное количество разрядов. Берендей дал задание составить числа так, чтобы у Дмитрия-царевича значение произведения было наибольшим из всех возможных, а у Василия-царевича – наименьшим из всех возможных. Царевичи справились с этим заданием.
1. Чему равно произведение у Дмитрия-царевича?
2. Чему равно произведение у Василия-царевича?
8. Богатырские забавы
Во время богатырских забав четыре богатыря боролись каждый с каждым, причём ни одна схватка не окончилась вничью. После турнира жёны богатырей сказали:
Савишна: «Илья Муромец выиграл у Ставра Годиновича, но проиграл Алёше Поповичу».
Настасья: «Добрыня Никитич не выиграл ни одного боя».
Елена: «Алёша Попович занял первое место, победив во всех боях».
Василиса: «Ставр Годинович проиграл бой Добрыне Никитичу».
Три жены из четырёх сказали правду, а одна солгала.
1. Кто из богатырей мог проиграть все бои?
Варианты: Ставр Годинович; Алёша Попович; Илья Муромец; Добрыня Никитич.
2. Кто из богатырей мог одержать больше всего побед?
8.2 Во время богатырских забав четыре богатыря боролись каждый с каждым, причём ни одна схватка не окончилась вничью. После турнира жёны богатырей сказали:
Савишна: «Алёша Попович выиграл у Ставра Годиновича, но проиграл Илье Муромцу».
Настасья: «Добрыня Никитич не выиграл ни одного боя».
Елена: «Илья Муромец занял первое место, победив во всех боях».
Василиса: «Ставр Годинович проиграл бой Добрыне Никитичу».
Три жены из четырёх сказали правду, а одна солгала.
1. Кто из богатырей мог проиграть все бои?
Варианты: Алёша Попович; Илья Муромец; Ставр Годинович; Добрыня Никитич.
2. Кто из богатырей мог одержать больше всего побед?
8.3 Во время богатырских забав четыре богатыря боролись каждый с каждым, причём ни одна схватка не окончилась вничью. После турнира жёны богатырей сказали:
Савишна: «Илья Муромец выиграл у Добрыни Никитича, но проиграл Алёше Поповичу».
Настасья: «Ставр Годинович не выиграл ни одного боя».
Елена: «Алёша Попович занял первое место, победив во всех боях».
Василиса: «Добрыня Никитич проиграл бой Ставру Годиновичу».
Три жены из четырёх сказали правду, а одна солгала.
1. Кто из богатырей мог проиграть все бои?
Варианты: Илья Муромец; Добрыня Никитич; Ставр Годинович; Алёша Попович.
2. Кто из богатырей мог одержать больше всего побед?
8.4 Во время богатырских забав четыре богатыря боролись каждый с каждым, причём ни одна схватка не окончилась вничью. После турнира жёны богатырей сказали:
Савишна: «Ставр Годинович выиграл у Ильи Муромца, но проиграл Алёше Поповичу».
Настасья: «Добрыня Никитич не выиграл ни одного боя».
Елена: «Алёша Попович занял первое место, победив во всех боях».
Василиса: «Илья Муромец проиграл бой Добрыне Никитичу».
Три жены из четырёх сказали правду, а одна солгала.
1. Кто из богатырей мог проиграть все бои?
Варианты: Ставр Годинович; Добрыня Никитич; Алёша Попович; Илья Муромец.
2. Кто из богатырей мог одержать больше всего побед?
8.5 Во время богатырских забав четыре богатыря боролись каждый с каждым, причём ни одна схватка не окончилась вничью. После турнира жёны богатырей сказали:
Савишна: «Илья Муромец выиграл у Ставра Годиновича, но проиграл Добрыне Никитичу».
Настасья: «Алёша Попович не выиграл ни одного боя».
Елена: «Добрыня Никитич занял первое место, победив во всех боях».
Василиса: «Ставр Годинович проиграл бой Алёше Поповичу».
Три жены из четырёх сказали правду, а одна солгала.
1. Кто из богатырей мог проиграть все бои?
Варианты: Алёша Попович; Илья Муромец; Ставр Годинович; Добрыня Никитич.
2. Кто из богатырей мог одержать больше всего побед?
→ Посмотреть все задания и ответы
6 класс
1. Ярмарка
Отправились как-то жёны богатырей русских – Василиса, Елена, Любава, Марья и Настасья – на ярмарку за платками. Вернулись домой они довольные, каждая купила себе один платок, о котором мечтала. Известно, что:
Любава любит белый и жёлтый цвета;
Василисе нравятся жёлтые и красные платки;
Марья купила на ярмарке красный платок;
Елене приглянулись белый, жёлтый и синий платки.
Оказалось, что все жёны богатырей купили платки разных цветов.
Определите, платок какого из пяти цветов – белого, жёлтого, зелёного, красного или синего – купила себе каждая из красавиц.
Сопоставьте цвет платка и имя красавицы.
Имена: Василиса, Елена, Любава, Марья, Настасья.
Цвета: синий, зелёный, красный, жёлтый, белый.
Ответ: Василиса — жёлтый; Елена — синий; Любава — белый; Марья — красный; Настасья — зелёный.
1.2 Отправились как-то жёны богатырей русских – Василиса, Елена, Любава, Марья и Настасья – на ярмарку за платками. Вернулись домой они довольные, каждая купила себе один платок, о котором мечтала. Известно, что:
Елена любит белый и жёлтый цвета;
Любаве нравятся жёлтые и красные платки;
Марья купила на ярмарке красный платок;
Василисе приглянулись белый, жёлтый и синий платки.
Оказалось, что все жёны богатырей купили платки разных цветов.
Определите, платок какого из пяти цветов – белого, жёлтого, зелёного, красного или синего – купила себе каждая из красавиц.
Сопоставьте цвет платка и имя красавицы.
Имена: Василиса, Елена, Любава, Марья, Настасья.
Цвета: жёлтый, синий, белый, красный, зелёный.
Ответ: Василиса — синий; Елена — белый; Любава — жёлтый; Марья — красный; Настасья — зелёный.
1.3 Отправились как-то жёны богатырей русских – Василиса, Елена, Любава, Марья и Настасья – на ярмарку за платками. Вернулись домой они довольные, каждая купила себе один платок, о котором мечтала. Известно, что:
Марья любит белый и жёлтый цвета;
Елене нравятся жёлтые и красные платки;
Любава купила на ярмарке красный платок;
Василисе приглянулись белый, жёлтый и синий платки.
Оказалось, что все жёны богатырей купили платки разных цветов.
Определите, платок какого из пяти цветов – белого, жёлтого, зелёного, красного или синего – купила себе каждая из красавиц.
Сопоставьте цвет платка и имя красавицы.
Имена: Василиса, Елена, Любава, Марья, Настасья.
Цвета: зелёный, синий, белый, жёлтый, красный.
Ответ: Василиса — синий; Елена — жёлтый; Любава — красный; Марья — белый; Настасья — зелёный.
1.4 Отправились как-то жёны богатырей русских – Василиса, Елена, Любава, Марья и Настасья – на ярмарку за платками. Вернулись домой они довольные, каждая купила себе один платок, о котором мечтала. Известно, что:
Любава любит белый и жёлтый цвета;
Елене нравятся жёлтые и красные платки;
Настасья купила на ярмарке красный платок;
Василисе приглянулись белый, жёлтый и синий платки.
Оказалось, что все жёны богатырей купили платки разных цветов.
Определите, платок какого из пяти цветов – белого, жёлтого, зелёного, красного или синего – купила себе каждая из красавиц.
Сопоставьте цвет платка и имя красавицы.
Имена: Василиса, Елена, Любава, Марья, Настасья.
Цвета: зелёный, красный, белый, синий, жёлтый.
Ответ: Василиса — синий; Елена — жёлтый; Любава — белый; Марья — зелёный; Настасья — красный.
1.5 Отправились как-то жёны богатырей русских – Василиса, Елена, Любава, Марья и Настасья – на ярмарку за платками. Вернулись домой они довольные, каждая купила себе один платок, о котором мечтала. Известно, что:
Любава любит белый и жёлтый цвета;
Елене нравятся жёлтые и красные платки;
Марья купила на ярмарке красный платок;
Василисе приглянулись белый, жёлтый и синий платки.
Оказалось, что все жёны богатырей купили платки разных цветов.
Определите, платок какого из пяти цветов – белого, жёлтого, зелёного, красного или синего – купила себе каждая из красавиц.
Сопоставьте цвет платка и имя красавицы.
Имена: Василиса, Елена, Любава, Марья, Настасья.
Цвета: синий, белый, зелёный, красный, жёлтый.
Ответ: Василиса — синий; Елена — жёлтый; Любава — белый; Марья — красный; Настасья — зелёный.
2. Тренировка
Жучка, Кошка, Мышка и Внучка перед тем как помочь Бабке и Дедке вытянуть репку, решили потренироваться – и пошли перетягивать канат. Они ухватились за канат и приготовились его тянуть. Расстояние между Мышкой и Кошкой было равно 1 м, а Жучка и Внучка тянули канат, стоя по краям. Расстояние между Мышкой и Жучкой оказалось в 5 раз больше, чем между Мышкой и Кошкой, а расстояние между Кошкой и Внучкой было в 7 раз больше, чем расстояние между Кошкой и Мышкой.
1. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наибольший из возможных ответов.
Ответ: 1) 11; 2) 13 (метры).
2.2 Жучка, Кошка, Мышка и Внучка перед тем как помочь Бабке и Дедке вытянуть репку, решили потренироваться – и пошли перетягивать канат. Они ухватились за канат и приготовились его тянуть. Расстояние между Мышкой и Кошкой было равно 1 м, а Жучка и Внучка тянули канат, стоя по краям. Расстояние между Мышкой и Жучкой оказалось в 3 раза больше, чем между Мышкой и Кошкой, а расстояние между Кошкой и Внучкой было в 5 раз больше, чем расстояние между Кошкой и Мышкой.
1. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наибольший из возможных ответов.
Ответ: 1) 7; 2) 9
2.3 Жучка, Кошка, Мышка и Внучка перед тем как помочь Бабке и Дедке вытянуть репку, решили потренироваться – и пошли перетягивать канат. Они ухватились за канат и приготовились его тянуть. Расстояние между Мышкой и Кошкой было равно 3 м, а Жучка и Внучка тянули канат, стоя по краям. Расстояние между Мышкой и Жучкой оказалось в 5 раз больше, чем между Мышкой и Кошкой, а расстояние между Кошкой и Внучкой было в 8 раз больше, чем расстояние между Кошкой и Мышкой.
1. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наибольший из возможных ответов.
Ответ: 1) 36; 2) 42
2.4 Жучка, Кошка, Мышка и Внучка перед тем как помочь Бабке и Дедке вытянуть репку, решили потренироваться – и пошли перетягивать канат. Они ухватились за канат и приготовились его тянуть. Расстояние между Мышкой и Кошкой было равно 1 м, а Жучка и Внучка тянули канат, стоя по краям. Расстояние между Мышкой и Жучкой оказалось в 4 раза больше, чем между Мышкой и Кошкой, а расстояние между Кошкой и Внучкой было в 6 раз больше, чем расстояние между Кошкой и Мышкой.
1. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наибольший из возможных ответов.
Ответ: 1) 9; 2) 11
2.5 Жучка, Кошка, Мышка и Внучка перед тем как помочь Бабке и Дедке вытянуть репку, решили потренироваться – и пошли перетягивать канат. Они ухватились за канат и приготовились его тянуть. Расстояние между Мышкой и Кошкой было равно 2 м, а Жучка и Внучка тянули канат, стоя по краям. Расстояние между Мышкой и Жучкой оказалось в 4 раза больше, чем между Мышкой и Кошкой, а расстояние между Кошкой и Внучкой было в 6 раз больше, чем расстояние между Кошкой и Мышкой.
1. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько метров может быть расстояние между Жучкой и Внучкой? Запишите наибольший из возможных ответов.
Ответ: 1) 18; 2) 22
3. Ёлочные игрушки
Попросил Дед Мороз Снегурочку помочь ему нарядить ёлку. Открыла Снегурочка короб с ёлочными игрушками (шариками и звёздочками) и обнаружила, что 12% всех игрушек – это разбитые шарики, а остальные – хрустальные звёздочки. При этом 30% хрустальных звёздочек тоже были разбиты. Сколько процентов игрушек в коробе разбито?
Ответ: 38,4%.
3.2 Попросил Дед Мороз Снегурочку помочь ему нарядить ёлку. Открыла Снегурочка короб с ёлочными игрушками (шариками и звёздочками) и обнаружила, что 13% всех игрушек – это разбитые шарики, а остальные – хрустальные звёздочки. При этом 30% хрустальных звёздочек тоже были разбиты. Сколько процентов игрушек в коробе разбито?
Ответ: 39,1%.
3.3 Попросил Дед Мороз Снегурочку помочь ему нарядить ёлку. Открыла Снегурочка короб с ёлочными игрушками (шариками и звёздочками) и обнаружила, что 10% всех игрушек – это разбитые шарики, а остальные – хрустальные звёздочки. При этом 35% хрустальных звёздочек тоже были разбиты. Сколько процентов игрушек в коробе разбито?
Ответ: 41,5%.
3.4 Попросил Дед Мороз Снегурочку помочь ему нарядить ёлку. Открыла Снегурочка короб с ёлочными игрушками (шариками и звёздочками) и обнаружила, что 10% всех игрушек – это разбитые шарики, а остальные – хрустальные звёздочки. При этом 32% хрустальных звёздочек тоже были разбиты. Сколько процентов игрушек в коробе разбито?
Ответ: 38,8%.
3.5 Попросил Дед Мороз Снегурочку помочь ему нарядить ёлку. Открыла Снегурочка короб с ёлочными игрушками (шариками и звёздочками) и обнаружила, что 11% всех игрушек – это разбитые шарики, а остальные – хрустальные звёздочки. При этом 30% хрустальных звёздочек тоже были разбиты. Сколько процентов игрушек в коробе разбито?
Ответ: 37,7%.
4. Ужин
Скатерть-самобранка накрыла ужин и, пока ждала гостей, взвесила блюда. Крынка с молоком весила столько же, сколько половина блюда с пирогами и вазочка с икрой заморской вместе. Блюдо с пирогами весило столько же, сколько крынка с молоком и вазочка с икрой заморской вместе. Вазочка с икрой заморской весила 600 граммов.
1. Сколько килограммов весила крынка с молоком?
2. Сколько килограммов весило блюдо с пирогами?
3. Сколько килограммов весили крынка с молоком и блюдо с пирогами вместе?
Ответ: 1) 1,8; 2) 2,4; 3) 4,2
4.2 Скатерть-самобранка накрыла ужин и, пока ждала гостей, взвесила блюда. Крынка с молоком весила столько же, сколько половина блюда с пирогами и вазочка с икрой заморской вместе. Блюдо с пирогами весило столько же, сколько крынка с молоком и вазочка с икрой заморской вместе. Вазочка с икрой заморской весила 800 граммов.
1. Сколько килограммов весила крынка с молоком?
2. Сколько килограммов весило блюдо с пирогами?
3. Сколько килограммов весили крынка с молоком и блюдо с пирогами вместе?
Ответ: 1) 2,4; 2) 3,2; 3) 5,6
4.3 Скатерть-самобранка накрыла ужин и, пока ждала гостей, взвесила блюда. Крынка с молоком весила столько же, сколько половина блюда с пирогами и вазочка с икрой заморской вместе. Блюдо с пирогами весило столько же, сколько крынка с молоком и вазочка с икрой заморской вместе. Вазочка с икрой заморской весила 500 граммов.
1. Сколько килограммов весила крынка с молоком?
2. Сколько килограммов весило блюдо с пирогами?
3. Сколько килограммов весили крынка с молоком и блюдо с пирогами вместе?
Ответ: 1) 1,5; 2) 2; 3) 3,5
4.4 Скатерть-самобранка накрыла ужин и, пока ждала гостей, взвесила блюда. Крынка с молоком весила столько же, сколько половина блюда с пирогами и вазочка с икрой заморской вместе. Блюдо с пирогами весило столько же, сколько крынка с молоком и вазочка с икрой заморской вместе. Вазочка с икрой заморской весила 900 граммов.
1. Сколько килограммов весила крынка с молоком?
2. Сколько килограммов весило блюдо с пирогами?
3. Сколько килограммов весили крынка с молоком и блюдо с пирогами вместе?
Ответ: 1) 2,7; 2) 3,6; 3) 6,3
4.5 Скатерть-самобранка накрыла ужин и, пока ждала гостей, взвесила блюда. Крынка с молоком весила столько же, сколько половина блюда с пирогами и вазочка с икрой заморской вместе. Блюдо с пирогами весило столько же, сколько крынка с молоком и вазочка с икрой заморской вместе. Вазочка с икрой заморской весила 700 граммов.
1. Сколько килограммов весила крынка с молоком?
2. Сколько килограммов весило блюдо с пирогами?
3. Сколько килограммов весили крынка с молоком и блюдо с пирогами вместе?
Ответ: 1) 2,1; 2) 2,8; 3) 4,9
5. Ковёр для царя
Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя два цвета нитей: красный и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей красных и зелёных частей ковра. Помогите Ивану-царевичу зная, что на схеме сторона одной клетки равна 1,2 дм.
1. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей красных частей? Ответ дайте в дм².
5.2 Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя два цвета нитей: красный и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей красных и зелёных частей ковра. Помогите Ивану-царевичу зная, что на схеме сторона одной клетки равна 1,3 дм.
1. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей красных частей? Ответ дайте в дм².
5.3 Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя два цвета нитей: красный и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей красных и зелёных частей ковра. Помогите Ивану-царевичу зная, что на схеме сторона одной клетки равна 1,4 дм.
[Схема на клетчатой сетке: прямоугольный ковёр, разделённый на красные и зелёные части в форме трапеций и треугольников]
1. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм²
2. Чему равна сумма площадей красных частей? Ответ дайте в дм²
5.4 Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя два цвета нитей: красный и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей красных и зелёных частей ковра. Помогите Ивану-царевичу зная, что на схеме сторона одной клетки равна 1,6 дм.
1. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей красных частей? Ответ дайте в дм².
5.5 Царевна-лягушка за ночь соткала волшебный ковёр, используя два цвета нитей: красный и зелёный. Иван-царевич отнёс ковёр батюшке Царю. Понравился ковёр Царю, но велел он Ивану вычислить суммы площадей красных и зелёных частей ковра. Помогите Ивану-царевичу зная, что на схеме сторона одной клетки равна 1,1 дм.
[Схема на клетчатой сетке: прямоугольный ковёр, разделённый на красные и зелёные части в форме трапеций и треугольников]
1. Чему равна сумма площадей зелёных частей? Ответ дайте в дм².
2. Чему равна сумма площадей красных частей? Ответ дайте в дм².
6. Сундук Кощея
Взмолился Иван-царевич: «Отдай ты мне, Кощей Бессмертный, Василису Прекрасную». Отвечал Кощей: «Хорошо, Иван-царевич. Но прежде помоги мне открыть мой сундук с золотом. Запер я его на ключ, ключ положил в сейф, а пароль от сейфа забыл. Помню только, что пароль – это наибольшее натуральное число, в записи которого нет цифр 0 и 2, все цифры различны, а произведение любых двух рядом стоящих цифр делится на 3». Помогите Ивану-царевичу вызволить Василису Прекрасную – запишите верный пароль от сейфа.
6.2 Взмолился Иван-царевич: «Отдай ты мне, Кощей Бессмертный, Василису Прекрасную». Отвечал Кощей: «Хорошо, Иван-царевич. Но прежде помоги мне открыть мой сундук с золотом. Запер я его на ключ, ключ положил в сейф, а пароль от сейфа забыл. Помню только, что пароль – это наибольшее натуральное число, в записи которого нет цифр 0 и 4, все цифры различны, а произведение любых двух рядом стоящих цифр делится на 3». Помогите Ивану-царевичу вызволить Василису Прекрасную – запишите верный пароль от сейфа.
6.3 Взмолился Иван-царевич: «Отдай ты мне, Кощей Бессмертный, Василису Прекрасную». Отвечал Кощей: «Хорошо, Иван-царевич. Но прежде помоги мне открыть мой сундук с золотом. Запер я его на ключ, ключ положил в сейф, а пароль от сейфа забыл. Помню только, что пароль – это наибольшее натуральное число, в записи которого нет цифр 0 и 5, все цифры различны, а произведение любых двух рядом стоящих цифр делится на 3». Помогите Ивану-царевичу вызволить Василису Прекрасную – запишите верный пароль от сейфа.
6.4 Взмолился Иван-царевич: «Отдай ты мне, Кощей Бессмертный, Василису Прекрасную». Отвечал Кощей: «Хорошо, Иван-царевич. Но прежде помоги мне открыть мой сундук с золотом. Запер я его на ключ, ключ положил в сейф, а пароль от сейфа забыл. Помню только, что пароль – это наибольшее натуральное число, в записи которого нет цифр 0 и 7, все цифры различны, а произведение любых двух рядом стоящих цифр делится на 3». Помогите Ивану-царевичу вызволить Василису Прекрасную – запишите верный пароль от сейфа.
6.5 Взмолился Иван-царевич: «Отдай ты мне, Кощей Бессмертный, Василису Прекрасную». Отвечал Кощей: «Хорошо, Иван-царевич. Но прежде помоги мне открыть мой сундук с золотом. Запер я его на ключ, ключ положил в сейф, а пароль от сейфа забыл. Помню только, что пароль – это наибольшее натуральное число, в записи которого нет цифр 0 и 8, все цифры различны, а произведение любых двух рядом стоящих цифр делится на 3». Помогите Ивану-царевичу вызволить Василису Прекрасную – запишите верный пароль от сейфа.
7. Большой Дуб
Три богатыря – Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович – гуляли по лесу и под Большим Дубом обнаружили кучу одинаковых волшебных желудей. Илья Муромец взял себе половину этой кучи и ещё полжёлудя. После этого Добрыня Никитич взял половину оставшихся желудей и ещё полжёлудя. Наконец, Алёша Попович забрал половину оставшейся кучи и ещё полжёлудя. После этого под Большим Дубом осталось 20 жёлудей.
1. Сколько волшебных желудей лежало под дубом вначале?
2. Сколько волшебных желудей взял себе Илья Муромец?
3. Сколько волшебных желудей взял себе Добрыня Никитич?
4. Сколько волшебных желудей взял себе Алёша Попович?
7.2 Три богатыря – Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович – гуляли по лесу и под Большим Дубом обнаружили кучу одинаковых волшебных желудей. Илья Муромец взял себе половину этой кучи и ещё полжёлудя. После этого Добрыня Никитич взял половину оставшихся желудей и ещё полжёлудя. Наконец, Алёша Попович забрал половину оставшейся кучи и ещё полжёлудя. После этого под Большим Дубом осталось 25 желудей.
1. Сколько волшебных желудей лежало под дубом вначале?
2. Сколько волшебных желудей взял себе Илья Муромец?
3. Сколько волшебных желудей взял себе Добрыня Никитич?
4. Сколько волшебных желудей взял себе Алёша Попович?
7.3 Три богатыря – Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович – гуляли по лесу и под Большим Дубом обнаружили кучу одинаковых волшебных желудей. Илья Муромец взял себе половину этой кучи и ещё полжёлудя. После этого Добрыня Никитич взял половину оставшихся желудей и ещё полжёлудя. Наконец, Алёша Попович забрал половину оставшейся кучи и ещё полжёлудя. После этого под Большим Дубом осталось 40 жёлудей.
1. Сколько волшебных желудей лежало под дубом вначале?
2. Сколько волшебных желудей взял себе Илья Муромец?
3. Сколько волшебных желудей взял себе Добрыня Никитич?
4. Сколько волшебных желудей взял себе Алёша Попович?
7.4 Три богатыря – Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович – гуляли по лесу и под Большим Дубом обнаружили кучу одинаковых волшебных желудей. Илья Муромец взял себе половину этой кучи и ещё полжёлудя. После этого Добрыня Никитич взял половину оставшихся желудей и ещё полжёлудя. Наконец, Алёша Попович забрал половину оставшейся кучи и ещё полжёлудя. После этого под Большим Дубом осталось 50 желудей.
1. Сколько волшебных желудей лежало под дубом вначале?
2. Сколько волшебных желудей взял себе Илья Муромец?
3. Сколько волшебных желудей взял себе Добрыня Никитич?
4. Сколько волшебных желудей взял себе Алёша Попович?
7.5 Три богатыря – Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович – гуляли по лесу и под Большим Дубом обнаружили кучу одинаковых волшебных желудей. Илья Муромец взял себе половину этой кучи и ещё полжёлудя. После этого Добрыня Никитич взял половину оставшихся желудей и ещё полжёлудя. Наконец, Алёша Попович забрал половину оставшейся кучи и ещё полжёлудя. После этого под Большим Дубом осталось 33 жёлудя.
1. Сколько волшебных желудей лежало под дубом вначале?
2. Сколько волшебных желудей взял себе Илья Муромец?
3. Сколько волшебных желудей взял себе Добрыня Никитич?
4. Сколько волшебных желудей взял себе Алёша Попович?
8. Коробок спичек
Ниф-Ниф и Наф-Наф нашли коробок спичек и начали выкладывать из них разные узоры. Ниф-Ниф составил из спичек большой квадрат и разбил его спичками на квадратики 1×1. Наф-Наф составил из спичек большой квадрат точно такого же размера, как у Ниф-Нифа, но разбил его спичками на квадратики 2×2. Оказалось, что Наф-Наф использовал на 100 спичек меньше, чем Ниф-Ниф.
1. Чему была равна сторона большого квадрата, составленного поросятами (в спичках)?
2. Сколько всего спичек использовал Ниф-Ниф для составления своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
3. Сколько всего спичек использовал Наф-Наф для своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
8.2 Ниф-Ниф и Наф-Наф нашли коробок спичек и начали выкладывать из них разные узоры. Ниф-Ниф составил из спичек большой квадрат и разбил его спичками на квадратики 1×1. Наф-Наф составил из спичек большой квадрат точно такого же размера, как у Ниф-Нифа, но разбил его спичками на квадратики 2×2. Оказалось, что Наф-Наф использовал на 64 спички меньше, чем Ниф-Ниф.
1. Чему была равна сторона большого квадрата, составленного поросятами (в спичках)?
2. Сколько всего спичек использовал Ниф-Ниф для составления своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
3. Сколько всего спичек использовал Наф-Наф для своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
8.3 Ниф-Ниф и Наф-Наф нашли коробок спичек и начали выкладывать из них разные узоры. Ниф-Ниф составил из спичек большой квадрат и разбил его спичками на квадратики 1×1. Наф-Наф составил из спичек большой квадрат точно такого же размера, как у Ниф-Нифа, но разбил его спичками на квадратики 2×2. Оказалось, что Наф-Наф использовал на 144 спичек меньше, чем Ниф-Ниф.
1. Чему была равна сторона большого квадрата, составленного поросятами (в спичках)?
2. Сколько всего спичек использовал Ниф-Ниф для составления своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
3. Сколько всего спичек использовал Наф-Наф для своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
8.4 Ниф-Ниф и Наф-Наф нашли коробок спичек и начали выкладывать из них разные узоры. Ниф-Ниф составил из спичек большой квадрат и разбил его спичками на квадратики 1×1. Наф-Наф составил из спичек большой квадрат точно такого же размера, как у Ниф-Нифа, но разбил его спичками на квадратики 2×2. Оказалось, что Наф-Наф использовал на 196 спичек меньше, чем Ниф-Ниф.
1. Чему была равна сторона большого квадрата, составленного поросятами (в спичках)?
2. Сколько всего спичек использовал Ниф-Ниф для составления своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
3. Сколько всего спичек использовал Наф-Наф для своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
8.5 Ниф-Ниф и Наф-Наф нашли коробок спичек и начали выкладывать из них разные узоры. Ниф-Ниф составил из спичек большой квадрат и разбил его спичками на квадратики 1×1. Наф-Наф составил из спичек большой квадрат точно такого же размера, как у Ниф-Нифа, но разбил его спичками на квадратики 2×2. Оказалось, что Наф-Наф использовал на 36 спичек меньше, чем Ниф-Ниф.
1. Чему была равна сторона большого квадрата, составленного поросятами (в спичках)?
2. Сколько всего спичек использовал Ниф-Ниф для составления своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
3. Сколько всего спичек использовал Наф-Наф для своего квадрата с учётом разбиения на квадратики?
7 класс
Баба-яга заполняет чан кипятком в своей бане с помощью трёх труб. С помощью первой трубы она может заполнить этот чан целиком за 6 часов, с помощью второй – за 18 часов, а с помощью третьей – за 9 часов. Баба-яга готовила чан с кипятком для Иванушки и открыла все три трубы. Но после того, как наполнилась 1/3 часть чана, третья труба сломалась. Баба-яга позвала Кощея Бессмертного на помощь и, пока он ремонтировал третью трубу, первая и вторая труба продолжали наполнять чан. Когда набралась половина чана, снова заработала третья труба и Баба-яга благополучно набрала полный чан кипятка. На сколько минут быстрее набрался бы чан, если бы не было поломки?
Ответ: 15
1.2 Баба-яга заполняет чан кипятком в своей бане с помощью трёх труб. С помощью первой трубы она может заполнить этот чан целиком за 6 часов, с помощью второй – за 9 часов, а с помощью третьей – за 18 часов. Баба-яга готовила чан с кипятком для Иванушки и открыла все три трубы. Но после того, как наполнилась 1/3 часть чана, третья труба сломалась. Баба-яга позвала Кощея Бессмертного на помощь и, пока он ремонтировал третью трубу, первая и вторая труба продолжали наполнять чан. Когда набралась половина чана, снова заработала третья труба и Баба-яга благополучно набрала полный чан кипятка. На сколько минут быстрее набрался бы чан, если бы не было поломки?
Ответ: 6
1.3 Баба-яга заполняет чан кипятком в своей бане с помощью трёх труб. С помощью первой трубы она может заполнить этот чан целиком за 4 часа, с помощью второй – за 12 часов, а с помощью третьей – за 6 часов. Баба-яга готовила чан с кипятком для Иванушки и открыла все три трубы. Но после того, как наполнилась 1/3 часть чана, третья труба сломалась. Баба-яга позвала Кощея Бессмертного на помощь и, пока он ремонтировал третью трубу, первая и вторая труба продолжали наполнять чан. Когда набралась половина чана, снова заработала третья труба и Баба-яга благополучно набрала полный чан кипятка. На сколько минут быстрее набрался бы чан, если бы не было поломки?
Ответ: 10
1.4 Баба-яга заполняет чан кипятком в своей бане с помощью трёх труб. С помощью первой трубы она может заполнить этот чан целиком за 6 часов, с помощью второй – за 12 часов, а с помощью третьей – за 4 часа. Баба-яга готовила чан с кипятком для Иванушки и открыла все три трубы. Но после того, как наполнилась 1/3 часть чана, третья труба сломалась. Баба-яга позвала Кощея Бессмертного на помощь и, пока он ремонтировал третью трубу, первая и вторая труба продолжали наполнять чан. Когда набралась половина чана, снова заработала третья труба и Баба-яга благополучно набрала полный чан кипятка. На сколько минут быстрее набрался бы чан, если бы не было поломки?
Ответ: 20
1.5 Баба-яга заполняет чан кипятком в своей бане с помощью трёх труб. С помощью первой трубы она может заполнить этот чан целиком за 3 часа, с помощью второй – за 6 часов, а с помощью третьей – за 18 часов. Баба-яга готовила чан с кипятком для Иванушки и открыла все три трубы. Но после того, как наполнилась 1/3 часть чана, третья труба сломалась. Баба-яга позвала Кощея Бессмертного на помощь и, пока он ремонтировал третью трубу, первая и вторая труба продолжали наполнять чан. Когда набралась половина чана, снова заработала третья труба и Баба-яга благополучно набрала полный чан кипятка. На сколько минут быстрее набрался бы чан, если бы не было поломки?
Ответ: 2
2. Наследство царя
Собрал царь Берендей троих своих сыновей и объявил им свою царскую волю: разделить земли царские в той же пропорции, что и возраст сыновей. Сколько лет Младшему, Среднему и Старшему Царевичам на момент царской воли, если известно, что сумма их возрастов составляет 49 лет, а земли царские разделили так, как показано на рисунке?
1. Сколько лет Младшему Царевичу?
2. Сколько лет Среднему Царевичу?
3. Сколько лет Старшему Царевичу?
2.2 Собрал царь Берендей троих своих сыновей и объявил им свою царскую волю: разделить земли царские в той же пропорции, что и возраст сыновей. Сколько лет Младшему, Среднему и Старшему Царевичам на момент царской воли, если известно, что сумма их возрастов составляет 98 лет, а земли царские разделили так, как показано на рисунке?
1. Сколько лет Младшему Царевичу?
2. Сколько лет Среднему Царевичу?
3. Сколько лет Старшему Царевичу?
2.3 Собрал царь Берендей троих своих сыновей и объявил им свою царскую волю: разделить земли царские в той же пропорции, что и возраст сыновей. Сколько лет Младшему, Среднему и Старшему Царевичам на момент царской воли, если известно, что сумма их возрастов составляет 98 лет, а земли царские разделили так, как показано на рисунке?
1. Сколько лет Младшему Царевичу?
2. Сколько лет Среднему Царевичу?
3. Сколько лет Старшему Царевичу?
2.4 Собрал царь Берендей троих своих сыновей и объявил им свою царскую волю: разделить земли царские в той же пропорции, что и возраст сыновей. Сколько лет Младшему, Среднему и Старшему Царевичам на момент царской воли, если известно, что сумма их возрастов составляет 49 лет, а земли царские разделили так, как показано на рисунке?
1. Сколько лет Младшему Царевичу?
2. Сколько лет Среднему Царевичу?
3. Сколько лет Старшему Царевичу?
2.5 Собрал царь Берендей троих своих сыновей и объявил им свою царскую волю: разделить земли царские в той же пропорции, что и возраст сыновей. Сколько лет Младшему, Среднему и Старшему Царевичам на момент царской воли, если известно, что сумма их возрастов составляет 49 лет, а земли царские разделили так, как показано на рисунке?
1. Сколько лет Младшему Царевичу?
2. Сколько лет Среднему Царевичу?
3. Сколько лет Старшему Царевичу?
3. Разноцветные сапоги
Мальчик-с-пальчик приобрёл четыре пары сапог-скороходов разных цветов: красные, синие, зелёные и жёлтые. Он смастерил для каждой пары свою полочку. Затем расположил эти полочки горизонтально в ряд и для удобства пронумеровал их слева направо. Мальчик-с-пальчик поставил сапоги на полочки. Оказалось, что на второй полке сапоги были не зелёные. На третьей полке – не жёлтые. На четвёртой полке были не синие сапоги. Зелёные сапоги-скороходы стояли на полке рядом с жёлтыми сапогами-скороходами. Красные сапоги стояли не на первой и не на четвёртой полке. На какой полке стояли сапоги какого цвета?
Сопоставьте номер полки и цвет сапог, стоящих на ней.
Полки: первая полка, вторая полка, третья полка, четвертая полка.
Сапоги: жёлтые сапоги, синие сапоги, зелёные сапоги, красные сапоги.
Ответ: синие, красные, зелёные, жёлтые
3.2 Мальчик-с-пальчик приобрёл четыре пары сапог-скороходов разных цветов: чёрные, коричневые, белые и серые. Он смастерил для каждой пары свою полочку. Затем расположил эти полочки горизонтально в ряд и для удобства пронумеровал их слева направо. Мальчик-с-пальчик поставил сапоги на полочки. Оказалось, что на второй полке сапоги были не белые. На третьей полке – не серые. На четвёртой полке были не коричневые сапоги. Белые сапоги-скороходы стояли на полке рядом с серыми сапогами-скороходами. Чёрные сапоги стояли не на первой и не на четвёртой полке. На какой полке стояли сапоги какого цвета?
Сопоставьте номер полки и цвет сапог, стоящих на ней.
Полки: первая полка, вторая полка, третья полка, четвертая полка.
Сапоги: белые сапоги, серые сапоги, коричневые сапоги, чёрные сапоги.
Ответ: коричневые, чёрные, белые, серые
3.3 Мальчик-с-пальчик приобрёл четыре пары сапог-скороходов разных цветов: фиолетовые, красные, оранжевые и розовые. Он смастерил для каждой пары свою полочку. Затем расположил эти полочки горизонтально в ряд и для удобства пронумеровал их слева направо. Мальчик-с-пальчик поставил сапоги на полочки. Оказалось, что на второй полке сапоги были не оранжевые. На третьей полке – не розовые. На четвёртой полке были не красные сапоги. Оранжевые сапоги-скороходы стояли на полке рядом с розовыми сапогами-скороходами. Фиолетовые сапоги стояли не на первой и не на четвёртой полке. На какой полке стояли сапоги какого цвета?
Сопоставьте номер полки и цвет сапог, стоящих на ней.
Полки: первая полка, вторая полка, третья полка, четвертая полка.
Сапоги: оранжевые сапоги, фиолетовые сапоги, красные сапоги, розовые сапоги.
Ответ: красные, фиолетовые, оранжевые, розовые
3.4 Мальчик-с-пальчик приобрёл четыре пары сапог-скороходов разных цветов: изумрудные, жёлтые, бордовые и лазурные. Он смастерил для каждой пары свою полочку. Затем расположил эти полочки горизонтально в ряд и для удобства пронумеровал их слева направо. Мальчик-с-пальчик поставил сапоги на полочки. Оказалось, что на второй полке сапоги были не бордовые. На третьей полке – не лазурные. На четвёртой полке были не жёлтые сапоги. Бордовые сапоги-скороходы стояли на полке рядом с лазурными сапогами-скороходами. Изумрудные сапоги стояли не на первой и не на четвёртой полке. На какой полке стояли сапоги какого цвета?
Сопоставьте номер полки и цвет сапог, стоящих на ней.
Полки: первая полка, вторая полка, третья полка, четвертая полка.
Сапоги: жёлтые сапоги, лазурные сапоги, изумрудные сапоги, бордовые сапоги.
Ответ: жёлтые, изумрудные, бордовые, лазурные
3.5 Мальчик-с-пальчик приобрёл четыре пары сапог-скороходов разных цветов: бирюзовые, зелёные, голубые и лиловые. Он смастерил для каждой пары свою полочку. Затем расположил эти полочки горизонтально в ряд и для удобства пронумеровал их слева направо. Мальчик-с-пальчик поставил сапоги на полочки. Оказалось, что на второй полке сапоги были не голубые. На третьей полке – не лиловые. На четвёртой полке были не зелёные сапоги. Голубые сапоги-скороходы стояли на полке рядом с лиловыми сапогами-скороходами. Бирюзовые сапоги стояли не на первой и не на четвёртой полке. На какой полке стояли сапоги какого цвета?
Сопоставьте номер полки и цвет сапог, стоящих на ней.
Полки: первая полка, вторая полка, третья полка, четвертая полка.
Сапоги: голубые сапоги, бирюзовые сапоги, зелёные сапоги, лиловые сапоги.
Ответ: зелёные, бирюзовые, голубые, лиловые
4. Дождливый день
Царь поручил гонцу передать приказ в одно из княжеств, расположенных на расстоянии 168 км от столицы. Гонец надел сапоги-скороходы и поспешил в дорогу, но первую половину пути из-за дождя он бежал со скоростью на 40% меньше запланированной. Дождь закончился, гонец смог увеличить скорость и бежал вторую половину пути со скоростью на 40% больше запланированной. Однако он всё-таки опоздал к намеченному сроку на 2 часа.
1. С какой скоростью изначально планировал бежать гонец в сапогах-скороходах, чтобы успеть передать приказ царя в намеченное время? Ответ дайте в км/ч.
2. С какой скоростью гонец бежал первую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
3. С какой скоростью гонец бежал вторую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 16, 9.6, 22.4
4.2 Царь поручил гонцу передать приказ в одно из княжеств, расположенных на расстоянии 336 км от столицы. Гонец надел сапоги-скороходы и поспешил в дорогу, но первую половину пути из-за дождя он бежал со скоростью на 40% меньше запланированной. Дождь закончился, гонец смог увеличить скорость и бежал вторую половину пути со скоростью на 40% больше запланированной. Однако он всё-таки опоздал к намеченному сроку на 2 часа.
1. С какой скоростью изначально планировал бежать гонец в сапогах-скороходах, чтобы успеть передать приказ царя в намеченное время? Ответ дайте в км/ч.
2. С какой скоростью гонец бежал первую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
3. С какой скоростью гонец бежал вторую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 32, 19.2, 44.8
4.3 Царь поручил гонцу передать приказ в одно из княжеств, расположенных на расстоянии 420 км от столицы. Гонец надел сапоги-скороходы и поспешил в дорогу, но первую половину пути из-за дождя он бежал со скоростью на 40% меньше запланированной. Дождь закончился, гонец смог увеличить скорость и бежал вторую половину пути со скоростью на 40% больше запланированной. Однако он всё-таки опоздал к намеченному сроку на 4 часа.
1. С какой скоростью изначально планировал бежать гонец в сапогах-скороходах, чтобы успеть передать приказ царя в намеченное время? Ответ дайте в км/ч.
2. С какой скоростью гонец бежал первую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
3. С какой скоростью гонец бежал вторую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 20, 12, 28
4.4 Царь поручил гонцу передать приказ в одно из княжеств, расположенных на расстоянии 126 км от столицы. Гонец надел сапоги-скороходы и поспешил в дорогу, но первую половину пути из-за дождя он бежал со скоростью на 40% меньше запланированной. Дождь закончился, гонец смог увеличить скорость и бежал вторую половину пути со скоростью на 40% больше запланированной. Однако он всё-таки опоздал к намеченному сроку на 1 час.
1. С какой скоростью изначально планировал бежать гонец в сапогах-скороходах, чтобы успеть передать приказ царя в намеченное время? Ответ дайте в км/ч.
2. С какой скоростью гонец бежал первую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
3. С какой скоростью гонец бежал вторую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 24, 14.4, 33.6
4.5 Царь поручил гонцу передать приказ в одно из княжеств, расположенных на расстоянии 210 км от столицы. Гонец надел сапоги-скороходы и поспешил в дорогу, но первую половину пути из-за дождя он бежал со скоростью на 40% меньше запланированной. Дождь закончился, гонец смог увеличить скорость и бежал вторую половину пути со скоростью на 40% больше запланированной. Однако он всё-таки опоздал к намеченному сроку на 2 часа.
1. С какой скоростью изначально планировал бежать гонец в сапогах-скороходах, чтобы успеть передать приказ царя в намеченное время? Ответ дайте в км/ч.
2. С какой скоростью гонец бежал первую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
3. С какой скоростью гонец бежал вторую половину пути? Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 20, 12, 28
5. Новогодний хоровод
В хоровод вокруг новогодней ёлки встали восемь мальчиков: Артур, Евсей, Захар, Никон, Мокей, Савва, Тит и Филипп. Снегурочка заметила, что у любых двух рядом стоящих мальчиков в именах обязательно встречается хотя бы одна одинаковая буква. В каком порядке стоят мальчики в хороводе?
1. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Евсея:
Варианты: Тит, Филипп, Захар, Савва, Мокей, Никон, Артур.
Ответ: Мокей и Савва
2. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Саввы:
Варианты: Тит, Филипп, Евсей, Мокей, Никон, Захар, Артур.
Ответ: Евсей и Захар
3. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Тита:
Варианты: Савва, Филипп, Евсей, Мокей, Никон, Захар, Артур.
Ответ: Артур и Филипп
4. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Артура:
Варианты: Тит, Филипп, Захар, Савва, Мокей, Никон, Евсей.
Ответ: Захар и Тит
5. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Филиппа:
Варианты: Савва, Тит, Евсей, Мокей, Никон, Захар, Артур.
Ответ: Никон и Тит
5.2 В хоровод вокруг новогодней ёлки встали восемь мальчиков: Артур, Евсей, Захар, Никон, Мокей, Савва, Тит и Филипп. Снегурочка заметила, что у любых двух рядом стоящих мальчиков в именах обязательно встречается хотя бы одна одинаковая буква. В каком порядке стоят мальчики в хороводе?
1. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Мокея:
Варианты: Савва, Тит, Захар, Филипп, Никон, Артур, Евсей.
2. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Тита:
Варианты: Мокей, Савва, Захар, Филипп, Никон, Артур, Евсей.
3. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Евсея:
Варианты: Савва, Тит, Никон, Филипп, Мокей, Артур, Захар.
4. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Никона:
Варианты: Савва, Тит, Захар, Филипп, Мокей, Артур, Евсей.
5. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Захара:
Варианты: Савва, Тит, Никон, Филипп, Мокей, Артур, Евсей.
5.3 В хоровод вокруг новогодней ёлки встали восемь мальчиков: Артур, Евсей, Захар, Никон, Мокей, Савва, Тит и Филипп. Снегурочка заметила, что у любых двух рядом стоящих мальчиков в именах обязательно встречается хотя бы одна одинаковая буква. В каком порядке стоят мальчики в хороводе?
1. Укажите, кто стоял справа и слева от Саввы:
Варианты: Тит, Филипп, Мокей, Евсей, Артур, Захар, Никон.
2. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Мокея:
Варианты: Тит, Филипп, Савва, Евсей, Артур, Захар, Никон.
3. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Артура:
Варианты: Тит, Филипп, Савва, Захар, Евсей, Никон, Мокей.
4. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Тита:
Варианты: Савва, Филипп, Мокей, Евсей, Артур, Захар, Никон.
5. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Никона:
Варианты: Тит, Филипп, Савва, Евсей, Артур, Захар, Мокей.
5.4 В хоровод вокруг новогодней ёлки встали восемь мальчиков: Артур, Евсей, Захар, Никон, Мокей, Савва, Тит и Филипп. Снегурочка заметила, что у любых двух рядом стоящих мальчиков в именах обязательно встречается хотя бы одна одинаковая буква. В каком порядке стоят мальчики в хороводе?
1. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Артура:
Варианты: Филипп, Евсей, Мокей, Захар, Тит, Савва, Никон.
2. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Захара:
Варианты: Филипп, Артур, Мокей, Евсей, Тит, Савва, Никон.
3. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Мокея:
Варианты: Филипп, Артур, Никон, Евсей, Тит, Савва, Захар.
4. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Саввы:
Варианты: Филипп, Артур, Никон, Евсей, Тит, Мокей, Захар.
5. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Филиппа:
Варианты: Тит, Артур, Никон, Евсей, Савва, Мокей, Захар.
5.5 В хоровод вокруг новогодней ёлки встали восемь мальчиков: Артур, Евсей, Захар, Никон, Мокей, Савва, Тит и Филипп. Снегурочка заметила, что у любых двух рядом стоящих мальчиков в именах обязательно встречается хотя бы одна одинаковая буква. В каком порядке стоят мальчики в хороводе?
1. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Никона:
Варианты: Филипп, Захар, Савва, Артур, Евсей, Тит, Мокей.
2. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Евсея:
Варианты: Филипп, Никон, Савва, Артур, Захар, Тит, Мокей.
3. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Захара:
Варианты: Филипп, Никон, Савва, Артур, Евсей, Тит, Мокей.
4. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Мокея:
Варианты: Филипп, Захар, Савва, Артур, Евсей, Тит, Никон.
5. Укажите имена тех двоих, кто стоял справа и слева от Филиппа:
Варианты: Тит, Захар, Мокей, Артур, Евсей, Савва, Никон.
6. Царский погреб
Жар-птица приносила царю молодильные яблоки из волшебного сада. Каждый день она один или несколько раз летала в сад и возвращалась с добычей, а в конце дня царь подсчитывал количество яблок и убирал их в погреб. Царь заметил, что Жар-птица могла принести за один раз только или 4 яблока, или 7 яблок.
1. Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)? Запишите количество возможных вариантов ответа на этот вопрос.
2. Какое максимальное количество яблок не могло оказаться в погребе Царя ни в один из дней при таком условии?
6.2 Жар-птица приносила царю молодильные яблоки из волшебного сада. Каждый день она один или несколько раз летала в сад и возвращалась с добычей, а в конце дня царь подсчитывал количество яблок и убирал их в погреб. Царь заметил, что Жар-птица могла принести за один раз только или 5 яблок, или 8 яблок.
1. Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)? Запишите количество возможных вариантов ответа на этот вопрос.
2. Какое максимальное количество яблок не могло оказаться в погребе Царя ни в один из дней при таком условии?
6.3 Жар-птица приносила царю молодильные яблоки из волшебного сада. Каждый день она один или несколько раз летала в сад и возвращалась с добычей, а в конце дня царь подсчитывал количество яблок и убирал их в погреб. Царь заметил, что Жар-птица могла принести за один раз только или 5 яблок, или 7 яблок.
1. Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)? Запишите количество возможных вариантов ответа на этот вопрос.
2. Какое максимальное количество яблок не могло оказаться в погребе Царя ни в один из дней при таком условии?
6.4 Жар-птица приносила царю молодильные яблоки из волшебного сада. Каждый день она один или несколько раз летала в сад и возвращалась с добычей, а в конце дня царь подсчитывал количество яблок и убирал их в погреб. Царь заметил, что Жар-птица могла принести за один раз только или 4 яблока, или 9 яблок.
1. Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)? Запишите количество возможных вариантов ответа на этот вопрос.
2. Какое максимальное количество яблок не могло оказаться в погребе Царя ни в один из дней при таком условии?
6.5 Жар-птица приносила царю молодильные яблоки из волшебного сада. Каждый день она один или несколько раз летала в сад и возвращалась с добычей, а в конце дня царь подсчитывал количество яблок и убирал их в погреб. Царь заметил, что Жар-птица могла принести за один раз только или 3 яблока, или 13 яблок.
1. Какое количество яблок точно не могло оказаться в погребе у Царя ни в один из дней при таком условии (количество яблок выражается натуральным числом)? Запишите количество возможных вариантов ответа на этот вопрос.
2. Какое максимальное количество яблок не могло оказаться в погребе Царя ни в один из дней при таком условии?
7. Плотник
Любил Царь Берендей в свободное время плотничать. Взял он квадратный кусок доски 8 дм×8 дм и распилил её на квадраты 2 дм×2 дм и прямоугольники 1 дм×4 дм. Общая длина распилов оказалась равной 5,4 м. Попросил он младшего сына, Ивана, посчитать количество фигурок, которое получилось после распилов. Что получилось у Ивана?
1. Сколько квадратов 2 дм×2 дм он насчитал после распила?
2. Сколько прямоугольников 1 дм×4 дм он насчитал после распила?
3. Сколько всего фигурок он насчитал после распила?
7.2 Любил Царь Берендей в свободное время плотничать. Взял он квадратный кусок доски 8 дм×8 дм и распилил её на квадраты 2 дм×2 дм и прямоугольники 1 дм×4 дм. Общая длина распилов оказалась равной 5,2 м. Попросил он младшего сына, Ивана, посчитать количество фигурок, которое получилось после распилов. Что получилось у Ивана?
1. Сколько квадратов 2 дм×2 дм он насчитал после распила?
2. Сколько прямоугольников 1 дм×4 дм он насчитал после распила?
3. Сколько всего фигурок он насчитал после распила?
7.3 Любил Царь Берендей в свободное время плотничать. Взял он квадратный кусок доски 8 дм×8 дм и распилил её на квадраты 2 дм×2 дм и прямоугольники 1 дм×4 дм. Общая длина распилов оказалась равной 5,6 м. Попросил он младшего сына, Ивана, посчитать количество фигурок, которое получилось после распилов. Что получилось у Ивана?
1. Сколько квадратов 2 дм×2 дм он насчитал после распила?
2. Сколько прямоугольников 1 дм×4 дм он насчитал после распила?
3. Сколько всего фигурок он насчитал после распила?
7.4 Любил Царь Берендей в свободное время плотничать. Взял он квадратный кусок доски 8 дм×8 дм и распилил её на квадраты 2 дм×2 дм и прямоугольники 1 дм×4 дм. Общая длина распилов оказалась равной 5,8 м. Попросил он младшего сына, Ивана, посчитать количество фигурок, которое получилось после распилов. Что получилось у Ивана?
1. Сколько квадратов 2 дм×2 дм он насчитал после распила?
2. Сколько прямоугольников 1 дм×4 дм он насчитал после распила?
3. Сколько всего фигурок он насчитал после распила?
7.5 Любил Царь Берендей в свободное время плотничать. Взял он квадратный кусок доски 8 дм×8 дм и распилил её на квадраты 2 дм×2 дм и прямоугольники 1 дм×4 дм. Общая длина распилов оказалась равной 6 м. Попросил он младшего сына, Ивана, посчитать количество фигурок, которое получилось после распилов. Что получилось у Ивана?
1. Сколько квадратов 2 дм×2 дм он насчитал после распила?
2. Сколько прямоугольников 1 дм×4 дм он насчитал после распила?
3. Сколько всего фигурок он насчитал после распила?
8. Дружина Ильи Муромца
Дружина Ильи Муромца состояла из 11 богатырей. Илья Муромец проводил для них учения: каждый день отправлял на задание команду богатырей, состоящую хотя бы из двух человек, причём ни разу полностью состав команды не повторился. Какое наибольшее количество дней могли проходить учения дружины Илья Муромца?
8.2 Дружина Ильи Муромца состояла из 12 богатырей. Илья Муромец проводил для них учения: каждый день отправлял на задание команду богатырей, состоящую хотя бы из двух человек, причём ни разу полностью состав команды не повторился. Какое наибольшее количество дней могли проходить учения дружины Илья Муромца?
8.3 Дружина Ильи Муромца состояла из 13 богатырей. Илья Муромец проводил для них учения: каждый день отправлял на задание команду богатырей, состоящую хотя бы из двух человек, причём ни разу полностью состав команды не повторился. Какое наибольшее количество дней могли проходить учения дружины Илья Муромца?
8.4 Дружина Ильи Муромца состояла из 9 богатырей. Илья Муромец проводил для них учения: каждый день отправлял на задание команду богатырей, состоящую хотя бы из двух человек, причём ни разу полностью состав команды не повторился. Какое наибольшее количество дней могли проходить учения дружины Илья Муромца?
8.5 Дружина Ильи Муромца состояла из 10 богатырей. Илья Муромец проводил для них учения: каждый день отправлял на задание команду богатырей, состоящую хотя бы из двух человек, причём ни разу полностью состав команды не повторился. Какое наибольшее количество дней могли проходить учения дружины Илья Муромца?
8 класс
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 54 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 54 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 54 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 18; 2) 27; 3) 10
1.2 На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 48 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 48 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 48 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 16; 2) 24; 3) 9
1.3 На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 42 жителя этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 42 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 42 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 14; 2) 21; 3) 8
1.4 На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 36 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 36 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 36 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 12; 2) 18; 3) 7
1.5 На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 60 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
1. Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
2. Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
3. Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 60 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 1) 20; 2) 30; 3) 11
2. Сумма отрезков
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 75°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 35; 2) 70
2.2 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 72°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 36; 2) 72
2.3 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 81°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 33; 2) 66
2.4 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 84°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 32; 2) 64
2.5 В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 78°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
1. Сколько градусов составляет угол BAC?
2. Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 1) 34; 2) 68
3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 42% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 9 часов накосить на том же лугу 60% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 20% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 3,75
3.2 Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,4 часа накосить на лугу около дворца 12% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 50% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 7,5
3.3 Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 2,25 часа накосить на лугу около дворца 36% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 1,2 часов накосить на том же лугу 16% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 1,875
3.4 Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 5,5 часа накосить на лугу около дворца 11% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 15 часов накосить на том же лугу 25% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 80% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 15
3.5 Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 63% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 6 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 64% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 2,5
4. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 100 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 99; 2) 4951
4.2 На доске написаны все натуральные числа от 1 до 99 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 98; 2) 4852
4.3 На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 59; 2) 1771
4.4 На доске написаны все натуральные числа от 1 до 75 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 74; 2) 2776
4.5 На доске написаны все натуральные числа от 1 до 50 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
1. Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
2. Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1) 49; 2) 1226
5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 3 часа, а обратно, против течения, – за 5 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 15; 2) 4
5.2 Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 5 часов, а обратно, против течения, – за 7 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 35; 2) 6
5.3 Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 7 часов, а обратно, против течения, – за 9 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 63; 2) 8
5.4 Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 4 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 24; 2) 5
5.5 Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
1. За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
2. Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 1) 6; 2) 2
6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 72963. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
6.2 Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 53955. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
6.3 Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 34947. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
6.4 Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 37917. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
6.5 Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 80982. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
7. Фестиваль
На фестиваль пришли 2025 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
7.2 На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
7.3 На фестиваль пришли 2026 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 8 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
7.4 На фестиваль пришли 2136 гостей. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 5 мест, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
7.5 На фестиваль пришёл 1501 гость. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
1. Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
2. Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 0 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 1 и меньше 10.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 2 до 9.
Варианты: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
8.2 Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 2 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
Варианты: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
8.3 Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 3 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
Варианты: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
8.4 Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 9 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 11 и меньше 19.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 12 до 18.
Варианты: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
8.5 Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 1 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
1. Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11.
Варианты: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
2. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n). В ответ запишите их в порядке возрастания без пробелов.
→ Посмотреть все задания и ответы
9 класс
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 25% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 5% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 40
1.2 Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 10% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 35% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 50
1.3 Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 25% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 35% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 80
1.4 Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 40% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 5% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 75
1.5 Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 20% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 20% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 50
2. Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 100°, угол BOC равен 70°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 25
2.2 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 120°, угол BOC равен 90°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 15
2.3 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 110°, угол BOC равен 80°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 20
2.4 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 115°, угол BOC равен 80°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 15
2.5 Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 108°, угол BOC равен 90°.
Найдите градусную меру угла OCD.
Ответ: 27
3. Раскраска полосы
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×11 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 24
3.2 Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×10 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 22
3.3 Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×9 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 20
3.4 Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×7 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 16
3.5 Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×8 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
2. Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 1) 4; 2) 18
4. Разбиение четырёхугольника
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 12 см², 24 см² и 36 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 98
4.2 Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 6 см², 10 см² и 15 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 38
4.3 Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 4 см², 6 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 28
4.4 Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 8 см², 10 см² и 20 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 45
4.5 Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 6 см², 8 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 1) 3; 2) 29
5. Разность квадратов
Число 3969 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 3969 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 1985; 3) 16
5.2 Число 5625 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 5625 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 2813; 3) 40
5.3 Число 9801 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 9801 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 4901; 3) 20
5.4 Число 2025 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 2025 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 1013; 3) 24
5.5 Число 21609 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 21609 = x² − y².
1. Сколькими способами это можно сделать?
2. Чему равно наибольшее возможное значение x?
3. Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 1) 7; 2) 10805; 3) 140
6. Дружный класс
В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 25 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
6.2 В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 36 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
6.3 В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 49 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
6.4 В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 64 ученика дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
6.5 В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 16 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
1. Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
2. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
7. Число в квадрате
В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 2 | 9 | 4 |
| 7 | 1 | 8 |
| 6 | 3 | 5 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
7.2 В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 1 | 7 | 2 |
| 9 | 3 | 8 |
| 4 | 6 | 5 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
7.3 В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 1 | 8 | 3 |
| 6 | 4 | 9 |
| 5 | 2 | 7 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
7.4 В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 7 | 9 | 2 |
| 4 | 1 | 6 |
| 3 | 8 | 5 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
7.5 В квадрате записаны 9 цифр так, как это показано на рисунке.
Сергей хочет составить число, подчиняющееся следующим правилам:
1) все цифры этого числа различны;
2) оно больше 1000000;
3) любые две соседние цифры числа должны быть соседними по стороне цифрами в данной таблице.
| 2 | 9 | 7 |
| 4 | 1 | 6 |
| 3 | 8 | 5 |
1. Какое наименьшее число может получить Сергей?
2. Какое число наибольшее может получить Сергей?
8. Физики и математики
Алексей Викторович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 20 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 10 учеников, а физику – 12. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
8.2 Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 25 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 15 учеников, а физику – только 12. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
8.3 Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 20 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 12 учеников, а физику – только 10. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
1. Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
2. Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
→ Посмотреть все задания и ответы
10 класс
1. Площадь трапеции
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 7, а боковая сторона PT равна 5. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 26,25
1.2 В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 13, а боковая сторона PT равна 11. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 107,25
1.3 В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 9. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 74,25
1.4 В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 13, а боковая сторона PT равна 11. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 107,25
1.5 В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 7. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 57,75
2. Многочлен
Многочлен P(x) = (x² − 3x + 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₆ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 256; 2) 0
2.2 Многочлен P(x) = (x² − 4x + 3)⁶ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹² + a₁x¹¹ + ⋯ + a₁₂.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₂ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₂ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 729; 2) 0
2.3 Многочлен P(x) = (x² − 3x + 3)⁶ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹² + a₁x¹¹ + ⋯ + a₁₂.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₂ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₂ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 729; 2) 1
2.4 Многочлен P(x) = (x² − 2x + 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите свободный коэффициент a₁₆ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 256; 2) 1
2.5 Многочлен P(x) = (x² − 5x + 4)⁴ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x⁸ + a₁x⁷ + ⋯ + a₈.
1. Найдите свободный коэффициент a₈ этого многочлена.
2. Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₈ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 1) 256; 2) 0
3. Натуральные делители
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 48
3.2 Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 14 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 192
3.3 Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 16 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 120
3.4 Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 48
3.5 Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 18 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 180
4. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,4 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»?
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два?
Ответ: 1) 3; 2) 0,648
4.2 Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,3 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»?
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два?
Ответ: 1) 3; 2) 0,784
4.3 Футболист бьёт пять пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из пяти ударов будет забито ровно три»?
2. Какова вероятность того, что из пяти ударов будет забито ровно три?
Ответ: 1) 6; 2) 0,5625
4.4 Футболист бьёт пять пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,4 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из пяти ударов будет забито ровно два»?
2. Какова вероятность того, что из пяти ударов будет забито ровно два?
Ответ: 1) 1; 2) 0,216
4.5 Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
1. Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»?
2. Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два?
Ответ: 1) 3; 2) 0,5
5. Трафик
В стране 16 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 24; 2) 9
5.2 В стране 24 города, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 36; 2) 13
5.3 В стране 14 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 4 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 28; 2) 15
5.4 В стране 12 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 5 дорог. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 30; 2) 19
5.5 В стране 20 городов, некоторые из них соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
1. Сколько всего дорог в этой стране?
2. Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 1) 30; 2) 11
6. Раскраска прямоугольника
Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
6.2 Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 5×5 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
6.3 Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 6×6 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
6.4 Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 7×7 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
6.5 Некоторые клетки (хотя бы одну) белого клетчатого квадратного поля закрасили в красный цвет. Оказалось, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
1. Сколько существует различных раскрасок с минимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 8×8 клеток? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
2. Сколько существует различных раскрасок с максимально возможным количеством красных клеток, если размер поля 4×4 клетки? (Поворачивать и разворачивать исходное клетчатое поле нельзя.)
7. Фонари на шоссе
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2350 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
7.2 Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 1950 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
7.3 Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2270 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
7.4 Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2110 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
7.5 Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2030 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
8. Лестница
Лестница на чердак состоит из 8 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
8.2 Лестница на чердак состоит из 9 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
8.3 Лестница на чердак состоит из 11 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
8.4 Лестница на чердак состоит из 12 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
8.5 Лестница на чердак состоит из 10 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
→ Посмотреть все задания и ответы
11 класс
Многочлен P(x) = (2x² − 2x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 1; 2) 3281
1.2 Многочлен P(x) = (x² − 2x − 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 6561; 2) 3281
1.3 Многочлен P(x) = (2x² − x − 3)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 256; 2) 128
1.4 Многочлен P(x) = (2x² − x − 2)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 1; 2) 1
1.5 Многочлен P(x) = (2x² − x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
1. Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
2. Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 1) 0; 2) 128
2. Разбиение треугольника
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 1, а площадь треугольника BMC′ равна 2.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 2; 2) 12
2.2 На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 2, а площадь треугольника BMC′ равна 4.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 4; 2) 24
2.3 На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 3, а площадь треугольника BMC′ равна 6.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 6; 2) 36
2.4 На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 4, а площадь треугольника BMC′ равна 8.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 8; 2) 48
2.5 На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 5, а площадь треугольника BMC′ равна 10.
1. Найдите площадь треугольника MCB′.
2. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 1) 10; 2) 60
3. Колебания
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
3.2 Пусть f(x) = sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4) · sin(x − 7π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
3.3 Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x − π/4) · sin(x − 3π/4) · sin(x − 5π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
3.4 Пусть f(x) = sin(x − π/4) · sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
3.5 Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) · sin(x + 7π/4).
1. Найдите наибольшее значение функции f(x).
2. Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 1) 0,25; 2) 0,25
4. Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 28 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 3; 2) 1015
4.2 В одном очень дружном классе, состоящем из 23 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 7; 2) 610
4.3 В одном очень дружном классе, состоящем из 22 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 6; 2) 610
4.4 В одном очень дружном классе, состоящем из 30 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 5; 2) 1015
4.5 В одном очень дружном классе, состоящем из 24 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
1. Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
2. Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 1) 8; 2) 610
5. Минимальное расстояние
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 5. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 60
5.2 Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 3. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 36
5.3 Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 2. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 24
5.4 Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 1. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 12
5.5 Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 4. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 48
6. Последовательность
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
6.2 Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/7, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
6.3 Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/10, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
6.4 Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/13, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
6.5 Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/4, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
1. Чему равно N?
2. Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
7. Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из семёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не семёрка, а все остальные – семёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
7.2 Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из четвёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не четвёрка, а все остальные – четвёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
7.3 Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из двоек. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не двойка, а все остальные – двойки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
7.4 Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из единиц. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не единица, а все остальные – единицы.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
7.5 Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из восьмёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не восьмёрка, а все остальные – восьмёрки.
1. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов.
2. Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Запишите наименьшее из возможных значений B.
8. Рожки
Семеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
8.2 Восемь ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
8.3 Шестеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
8.4 Девять ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
8.5 Пятеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
1. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов.
2. Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов.
3. Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных».
4. Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой».
→ Посмотреть все задания и ответы
С 26 по 28 сентября 2026 года школьники Московской области пишут школьный этап Всероссийской олимпиады по математике для 4–11 классов. Тур проходит онлайн на платформе «Взлёт», начать работу нужно не позднее 19:00. В каждом варианте 8 задач, объединённых сказочным сюжетом. Четвероклассникам предстоит найти расстояние между домами двух Василис, заполнить магический квадрат 3×3, сравнить скорость Емели пешком и на печи и выстроить очередь за пирожками.
В 5 классе ждут задачи про скатерть-самобранку, яблоки Жар-птицы, площадь волшебного ковра и богатырский турнир. Шестиклассники подбирают платки на ярмарке и в процентах считают разбитые ёлочные игрушки. Здесь собраны задания олимпиады по математике 2026 по классам с ответами — их удобно использовать, чтобы проверить себя после тура и разобрать ошибки. Материал пригодится ученикам, родителям и учителям при подготовке к муниципальному этапу ВсОШ.
Смотрите на сайте олимпиады:
16 октября 2025 Олимпиада Сириус по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс
