Олимпиада Сириус по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс онлайн 15 октября 2025 ответы и решения ко всем заданиям школьного этапа всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для 1 группы регионов дата проведения олимпиады на официальной платформе 2025-2026 учебный год. Пройти олимпиаду нужно не позднее 19:00 по местному времени 15 октября.
7 класс
1. Если от трёхзначного числа отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 8, оно разделится на 8; если отнять 9 — оно разделится на 9. Найдите это число.
Ответ: 504
1.2. Если от трёхзначного числа отнять 6, оно разделится на 6; если отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 13 — оно разделится на 13. Найдите это число.
Ответ: 546
1.3. Если от трёхзначного числа отнять 7, оно разделится на 7; если отнять 9, оно разделится на 9; если отнять 11 — оно разделится на 11. Найдите это число.
Ответ: 693
1.4. Если от трёхзначного числа отнять 5, оно разделится на 5; если отнять 8, оно разделится на 8; если отнять 13 — оно разделится на 13. Найдите это число.
Ответ: 520
2. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 3 раза больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 20% больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
Ответ: 60%
2.2. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 4 раза больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 10% больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
Ответ: 40%
2.3. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 2 раза больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 10% больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
Ответ: 20%
2.4. Из куска проволоки согнули прямоугольник, длина которого в 5 раз больше ширины. Затем разогнули проволоку и согнули из неё другой прямоугольник с длиной на 16 % больше, чем раньше. На сколько процентов уменьшилась его ширина?
Ответ: 80%
3. В каждой клетке квадрата 12 х 12 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
Ответ: 12
3.2. В каждой клетке квадрата 18 х 18 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
Ответ: 18
3.3. В каждой клетке квадрата 16 х 16 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
Ответ: 16
3.4. В каждой клетке квадрата 14 х 14 лежит монета орлом вверх. Какое наименьшее количество монет нужно перевернуть, чтобы в результате на каждой горизонтали, вертикали и обеих диагоналях были как монеты, лежащие вверх орлом, так и монеты, лежащие вверх решкой?
Ответ: 14
4. В одной из двух канистр содержится 14 литров воды, другая пуста. Из первой канистры вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 1003 переливаний? Ответ выразите в литрах.
Ответ: 7 литров
4.2. В одной из двух канистр содержится 10 литров воды, другая пуста. Из первой канистры во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 1001 переливания? Ответ выразите в литрах.
Ответ: 10 литров
4.3. В одной из двух канистр содержится 18 литров воды, другая пуста. Из первой канистры во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 997 переливаний? Ответ выразите в литрах.
Ответ: 9 литров
4.4. В одной из двух канистр содержится 20 литров воды, другая пуста. Из первой канистры во вторую переливают половину имеющейся там воды, затем из второй в первую — треть имеющейся там воды, потом из первой во вторую — четверть имеющейся там воды и т. д. Сколько воды будет в первой канистре после 999 переливаний? Ответ выразите в литрах.
Ответ: 10 литров
5. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 20, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1. Определите минимально возможное количество его вершин. Определите максимально возможное количество его вершин.
Ответ: мин — 4, макс — 20
5.2. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 28, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1. Определите минимально возможное количество его вершин. Определите максимально возможное количество его вершин.
Ответ: мин — 4, макс — 28
5.3. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 24, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1. Определите минимально возможное количество его вершин. Определите максимально возможное количество его вершин.
Ответ: мин — 4, макс — 24
5.4. Стороны клетчатого многоугольника с периметром 16, проходят по линиям сетки? Сторона клетки равна 1. Определите минимально возможное количество его вершин. Определите максимально возможное количество его вершин.
Ответ: мин — 4, макс — 16
6. Все числа от 1 до 600 выписали подряд: 123456789101112 … 599600. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 3 стоит цифра 4?
Ответ: 27
6.2. Все числа от 1 до 500 выписали подряд: 123456789101112 … 499500. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 2 стоит цифра 3?
Ответ: 26
6.3. Все числа от 1 до 800 выписали подряд: 123456789101112 … 799800. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 5 стоит цифра б?
6.3. Все числа от 1 до 700 выписали подряд: 123456789101112 … 699700. Сколько раз в этом ряду сразу после цифры 4 стоит цифра 5?
7. B клетках таблицы 2 х 2 записаны положительные числа. Витя и Женя выбрали клетку и заштриховали её серым. Витя посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, Женя проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в 4 раза меньший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
7.2. B клетках таблицы 2 х 2 записаны положительные числа. Саша и Паша выбрали клетку и заштриховали её серым. Саша посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, Паша проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в 3 раза больший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
7.3. B клетках таблицы 2 х 2 записаны положительные числа. Петя и Вася выбрали клетку и заштриховали её серым. Петя посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, Вася проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в 2 раза меньший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
7.4. B клетках таблицы 2 х 2 записаны положительные числа. Толя и Рома выбрали клетку и заштриховали её серым. Толя посчитал сумму чисел в строке, в которой она находится, Рома проделал ту же самую операцию для столбца. Потом мальчики перемножили свои суммы и получили результат, в 5 раз больший числа в заштрихованной клетке. Оказалось, что это условие справедливо для любой из четырёх клеток. Найдите сумму всех чисел в таблице.
8. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны 10 мм/с и 30 мм/с, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите в мм/с.
8.2. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны 15 мм/с и 45 мм/с, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите в мм/с.
8.3. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны 20 мм/с и 60 мм/с, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите в мм/с.
8.4. По контуру квадрата в одном направлении ползут три жука, скорости которых постоянны и различны. Найдите скорость самого медленного из жуков, если скорости других равны 25 мм/с и 75 мм/с, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата. Ответ выразите B мм/с.
8 класс
1. Три подруги вернулись с прогулки в парке и встретили свою учительницу. Учительница спросила у каждой, сколько они вместе съели пирожных, и дети ответили следующее. Лена: «Больше четырёх»; Света: «Больше восьми»; Рената: «Больше пяти». Сколько могло быть съедено пирожных, если известно, что две подруги сказали а третья солгала? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 6,7,8
1.2. Три одноклассника вернулись в школу с игры в футбол. Учитель спросил у каждого, сколько они вместе забили мячей, и дети ответили следующее. Семён: «Больше пяти»; Дима: «Больше девяти»; Миша: «Больше шести». Сколько могло быть забито мячей, если известно, что два одноклассника сказали а третий солгал? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 7, 8, 9
1.3. Трое рабочих копали ямы. Начальник спросил у каждого, сколько они вместе выкопали ям, и рабочие ответили следующее: Иван: «Больше десяти»; Пётр: «Больше восемнадцати»; Василий: «Больше пятнадцати». Сколько могло быть выкопано ям, если известно, что два рабочих сказали правду, а третий солгал? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 16, 17, 18
1.4. Три сестры ходили за грибами. Мама спросила у каждой, сколько они вместе собрали грибов, и дети ответили следующее. Аня: «Больше восьми»; Маша: «Больше двадцати двух»; Ирина: «Больше девятнадцати». Сколько могло быть собрано грибов, если известно, что две сестры сказали правду, а третья солгала? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20, 21, 22
2. Пусть А — двузначное число, не кратное 10, В — трёхзначное число. Известно, что А процентов от В равны 512. Найдите А и В.
Ответ: A=64, B=800
2.2. Пусть А — двузначное число, не кратное 10, В — четырёхзначное число. Известно, что А процентов от В равны 200. Найдите А и В.
Ответ: A=50, B=400
2.3. Пусть А -двузначное число, не кратное 10, В — трёхзначное число. Известно, что А процентов от В равны 320. Найдите А и В.
Ответ: A=64, B=500
2.4. Пусть А — двузначное число, не кратное 10, В — трёхзначное число. Известно, что А процентов от В равны 400. Найдите А и В.
Ответ: A=64, B=625
3. Саша нарисовал в тетради четырёхугольник, а затем измерил линейкой четыре его стороны одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Саша записал по возрастанию: И 1, 3, 3.6, 7, 10.2. Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
Ответ: 3.6
3.2. Даша нарисовала в тетради четырёхугольник, а затем измерила линейкой четыре его стороны и одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Даша записала по возрастанию: 2, 3, 4.3, 8, 12.1. Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
Ответ: 4.3
3.4. Катя нарисовала в тетради четырёхугольник, а затем измерила линейкой четыре его стороны и одну из диагоналей. Получившиеся пять чисел Катя записала по возрастанию: 1, 4, 4.6, 9, 13.3. Какое из этих чисел может являться длиной диагонали?
Ответ: 4.6
4. В треугольнике АВС угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины В, равен 15°, а угол С равен 25°. Найдите угол А. Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 55
4.2. В треугольнике АВС угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины В, равен 30°, а угол С равен 20°. Найдите угол А. Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 80
4.3. В треугольнике АВС угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины В, равен 25°, а угол С равен 15°. Найдите угол А. Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 65
4.4. В треугольнике АВС угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины равен 20°, а угол С равен 35°. Найдите угол А. Ответ выразите в градусах. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 75
5. Даниил придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После четырнадцати таких вычитаний впервые получился ноль. Какое наименьшее число мог придумать Даниил? Какое наибольшее число мог придумать Даниил?
Ответ: наименьшее число: 63. Наибольшее число: 126
5.2. Сергей придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После двенадцати таких вычитаний впервые получился ноль. Какое наименьшее число мог придумать Сергей? Какое наибольшее число мог придумать Сергей?
Ответ: 108, 119
5.3. Антон придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После пятнадцати таких вычитаний впервые получился ноль. Какое наименьшее число мог придумать Антон? Какое наибольшее число мог придумать Антон?
Ответ: 90, 180
5.4. Роман придумал натуральное число. После этого он вычел из него сумму его цифр. Потом из полученного числа он снова вычел сумму его цифр и так далее. После тринадцати таких вычитаний впервые получился ноль. Какое наименьшее число мог придумать Роман? Какое наибольшее число мог придумать Роман?
6. Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа х. Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа у, причём у кратно х и у > х. Найдите у.
6.2. Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа х. Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа у, причём у кратно х и у > х. Найдите x2.
6.3. Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа х. Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа у, причём у кратно х и у > х. Найдите у2.
6.4. Некоторое четырёхзначное число является квадратом числа х. Если же цифры этого четырёхзначного числа записать в обратном порядке, то получится квадрат числа у, причём у кратно х и у > х. Найдите х.
7. На доске записано пятизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных шестизначных чисел может получиться?
7.2. На доске записано семизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных восьмизначных чисел может получиться?
7.3. На доске записано восьмизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных девятизначных чисел может получиться?
7.4. На доске записано шестизначное число, состоящее из различных цифр, не равных нулю. Разрешается добавить в это число любую цифру, записав её в любом месте между цифрами данного числа, а также в начале или в конце числа. Сколько различных семизначных чисел может получиться?
8. Найдите все натуральные n < 70, для которых числа n+15/n записываются n n+15 в виде конечных десятичных дробей. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
9 класс
1. Жора решал уравнение 11x = b, где неизвестная переменная 2, а b — некоторое число. Когда он увеличил коэффициент при х и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при 2 и число в правой части на 7?
Ответ: 4,67
1.2. Жора решал уравнение 19х = b, где неизвестная переменная х, а b — некоторое число. Когда он увеличил коэффициент при х и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при х и число в правой части на 3?
Ответ: 30\11
1.3. Жора решал уравнение 13х = 6, где неизвестная переменная х, а в — некоторое число. Когда он увеличил коэффициент при х и число в правой части на 1, корень уравнения тоже увеличился на 1. На сколько увеличился бы корень уравнения, если бы Жора вместо этого увеличил коэффициент при х и число в правой части на 5?
Ответ: 35/9
2. Про натуральное число А известно, что оно делится на 24 и не делится на 36, а про натуральное число В известно, что оно делится на 30 и не делится на 60. Какие утверждения о числе C = A — B могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
С делится на 6
C не делится на 12
С делится на 4
С не делится на 35
C не делится на 3
Ответ: 1, 2, 4 — верны
2.2. Про натуральное число А известно, что оно делится на 60 и не делится на 90, а про натуральное число В известно, что оно делится на 36 и не делится на 48. Какие утверждения о числе C = А — В могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
С делится на 18
С не делится на 4
С не делится на 9
С делится на 6
С не делится на 20
Ответ: 3, 4, 5 — верны
2.3. Про натуральное число А известно, что оно делится на 50 и не делится на 75, про натуральное число В известно, что оно делится на 60 и не делится на 90. Какие утверждения о числе C = A — В могут быть верны? Выберите все подходящие варианты:
С делится на 5
С делится на 6
С не делится на 75
С делится на 100
С не делится на 10
Ответ: 1, 3, 4
3. У Ивана есть большая корзина с 940 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Ответ: 627
3.2. У Ивана есть большая корзина с 970 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Ответ: 647
3.3. У Ивана есть большая корзина с 880 шариками одинакового размера. Как минимум один из шариков красный, остальные — зелёные. Иван вычислил, что вероятность того, что два случайно выбранных шарика окажутся красными, совпадает с вероятностью того, что они будут разного цвета. Сколько красных шариков в корзине?
Ответ: 587
4. Периметр трапеции АВCD (AD || ВС) равен 80, а расстояние между основаниями — 4; длина отрезка АВ указана на рисунке.
Периметры четырёхугольников АBEF CDFE равны; площади этих четырёхугольников также равны. Найдите длину отрезка CD. Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
Ответ: 7, 132
4.2. Периметр трапеции ABCD (AD || ВС) равен 90, а расстояние между основаниями — 6; Длина отрезка АВ указана на рисунке. Периметры четырёхугольников ABEF и CDFE равны; площади этих четырёхугольников также равны. Найдите длину отрезка CD. Найдите площадь четырёхугольника АВСD.
Ответ: CD-25, площадь — 150
4.3. Периметр трапеции АВCD (AD || ВС) равен 60, а расстояние между основаниями — 7; Длина отрезка АВ указана на рисунке. Периметры четырёхугольников ABEF и CDFEравны; площади этих четырёхугольников также равны. Найдите длину отрезка CD.
Ответ: CD-15, площадь — 105
5. Про действительные числа а, b и с известно, что 2* (2a√5+b/15+c√19) = a² +b² +c²+54. Найдите значение выражения а2 + b2 + 2c2.
Ответ: 73
6. Окружности пересекаются в точках А и В, О — центр окружности ш. Лучи СА и СВ пересекают окружность в точках D и Е соответственно. Оказалось, что точка О лежит на отрезке ЕС. На рисунке указаны значения углов BCA BDA. Найдите градусную меру угла EAB.
7. На большой клетчатой плоскости можно размещать прямоугольники размером 4 х 9 так, что каждый прямоугольник покрывает ровно 36 клеток. Прямоугольники можно размещать как горизонтально, так и вертикально, при этом они могут перекрываться. Найдите наибольшее целое число №, при котором невозможно покрыть ровно № клеток таким способом.
8. Исследователи опросили n человек, чтобы узнать, какие из трёх продуктов по уходу за кожей — А, В, С — они используют. Результаты опроса: 50 человек используют В; 61 человек НЕ пользуется А; 13 человек НЕ пользуются С . 74 человека используют как минимум два из трёх видов А, В, С. Каждый человек мог выбрать любую комбинацию средств (в том числе не выбрать ни одно). Найдите минимально возможное значение N.
10 класс
1. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 5 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 10. Сколько сторон у большего многоугольника?
Ответ: 45
1.2. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 0.5°. Сколько сторон у меньшего многоугольника?
Ответ: 72
1.3. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 6 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 2°. Сколько сторон у большего многоугольника?
Ответ: 36
1.4. У Жоры есть два правильных многоугольника, причём у большего на 8 сторон больше, чем у меньшего. Внутренние углы этих многоугольников отличаются на 1.5°. Сколько сторон у меньшего многоугольника?
Ответ: 40
2. В некотором городе погода бывает только двух видов: ветреная или безветренная. Если сегодня ветрено, то завтра с вероятностью 1 — 4 снова будет ветрено. Если сегодня безветренная погода, то и завтра с вероятностью 1 6 будет безветренно. Сегодня пятница и на улице ветрено. В воскресенье планируют запускать воздушного змея. Какова вероятность того, что в воскресенье будет ветрено?
Ответ: 11/16
2.2 В некотором городе погода бывает только двух видов: солнечная или дождливая. Если сегодня солнечно, то завтра с вероятностью 4 снова будет солнечно. Если сегодня дождливо, то завтра с вероятностью 2 будет солнечно. Сегодня пятница и на улице солнечно. На воскресенье запланирована поездка на природу. Какова вероятность того, что в воскресенье будет солнечно?
Ответ: 58/75
2.3. В некотором городе погода бывает только двух видов: ветреная или 1 безветренная. Если сегодня ветрено, то завтра с вероятностью — снова будет ветрено. Если сегодня безветренная погода, то и завтра с вероятностью 2 3 будет безветренно. Сегодня пятница и на улице ветрено. В воскресенье планируют запускать воздушного змея. Какова вероятность того, что в воскресенье будет ветрено?
Ответ: 23/75
3. На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 12, 23, 12, 18, 27, 10, 12, 16, 27, 19, 16. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 11, 26, 28, 15, 11, 13, 17, 14, 19, 28, 13. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
Ответ: 9
3.2. На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 23, 21, 11, 16, 24, 20, 11, 14, 25, 14, 20. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 25, 10, 13, 14, 26, 20, 25, 12, 23, 13, 12. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
Ответ: 9
3.3. На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 25, 20, 26, 24, 17, 26, 26, 12, 16, 26, 12. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 26, 20, 21, 10, 12, 18, 17, 23, 12, 19, 21. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
Ответ: 6
3.4. На склад поступили 11 шаров разного диаметра: 22, 21, 27, 27, 26, 17, 24, 22, 14, 18, 22. А также 11 кубических коробок, у каждой задана длина ребра: 24, 20, 29, 29, 15, 20, 10, 22, 10, 14, 14. Упаковщик может положить шар только в такую коробку, длина ребра которой не меньше диаметра шара. Каждый шар можно упаковать только в одну коробку, и в каждую коробку можно положить не более одного шара. Какое наибольшее количество шаров удастся упаковать?
Ответ: 7
4. В кулинарной академии 13 поваров, один из которых известен как «Спец по специям». Эксперт сравнивает одно и то же блюдо, приготовленное любыми двумя кулинарами, и решает, у кого получилось лучше. Ничья невозможна: либо блюдо повара А вкуснее, чем у повара В, либо наоборот. Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
Как минимум 12 поваров хотя бы раз проигрывают в сравнении
Существует повар, проигравший соперникам хотя бы шесть раз
Блюдо «Спеца по специям» эксперт оценивает хуже хотя бы пяти других
Для каждого повара найдётся хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось лучше, и хотя бы один соперник, чьё блюдо оказалось хуже
Ответ: 1 и 2 верные
4.3. На бирже 13 компаний. Для каждой пары компаний верно, что ровно одна из них купила акции другой: либо компания А вложилась в компанию В, либо компания В вложилась в компанию А. Одна из компаний известна под названием «Альфа». Выберите все утверждения, которые обязательно верны:
Как минимум 12 компаний получили инвестиции хотя бы от одной другой
В компанию «Альфа» инвестировали не более 5 других
Существует компания, которая вложилась как минимум в 6 других
Есть компания, которая вложилась ровно в 6 других компаний
Ответ: 1 ,3, 4 верные
5. Какое наименьшее значение принимает функция f(f(f(x))), если f(x) = x2 + 12x + 34?
Ответ: 398
Ответ: 898
Ответ: 897
6. На чертеже представлена трапеция, у которой указаны длины сторон, а также указано, что некоторые углы — прямые. Точка соединена с серединами всех четырёх сторон трапеции. Четыре образовавшихся четырёхугольника равновелики (то есть имеют одинаковую площадь). Найдите расстояние от точки Q до стороны А.В. Найдите длину отрезка AQ.
7. У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число n, то значение дроби увеличится в 3 раза, а если уменьшит на n, то увеличится в 4 раза. Найдите n.
7.2. У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число n, то значение дроби увеличится в 6 раз, а если уменьшит на n, то увеличится в 7 раз. Найдите n.
7.3. У Жоры есть положительная несократимая дробь, числителем которой является натуральное число. Если Жора увеличит и числитель, и знаменатель дроби на некоторое число n, то значение дроби увеличится в 4 раза, а если уменьшит на n, то увеличится в 5 раз. Найдите n.
8. У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число №, записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение № может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8.2. У Саши и Юры есть по игральному кубику. Одна грань кубика Саши пустая, а на других написаны числа 10, 3, 12, 15, 1. Одна грань кубика Юры тоже пустая, а на других написаны числа 18, 19, 14, 6, 21. Юра выбирает натуральное число №, записывает его на пустые грани обоих кубиков, а потом мальчики бросают свои кубики. Выигрывает тот, у кого выпадет большее число; при равенстве очков объявляется ничья. Какое значение № может выбрать Юра, чтобы вероятность его победы была наибольшей? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
11 класс
1. На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел a1 > aq > … > a5. Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди а чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока ему не пришлось бы написать О. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались числа 5, 5, 3, 1. Какая последовательность была записана на доске?
Ответ: 4, 3, 3, 2, 2
1.2. На доске была написана невозрастающая последовательность натуральных чисел a1 > a … > a5. Саша написал на листочке другую последовательность: сколько среди а чисел, больших или равных 1, сколько — больше или равных 2 и далее до тех пор, пока ему не пришлось бы написать О. Юра стёр числа с доски. На листочке у Саши остались числа 5, 3, 2, 1. Какая последовательность была записана на доске?
Ответ: 4, 3, 3, 1
2. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 8 карточек с числами от 1 до 8. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется чётной?
Ответ: 1\2
2.2. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 6 карточек с числами от 1 до 6. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется нечётной?
Ответ: 7/12
2.3. У Жоры есть три одинаковые колоды, в каждой — 8 карточек с числами от 1 до 8. Сначала он наугад вытаскивает по одной карточке из первых двух колод. Если числа на них совпадают, он дополнительно вытаскивает наугад карточку из третьей колоды. Какова вероятность того, что сумма всех вытащенных чисел окажется нечётной?
Ответ: 1/2
3. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первую треть монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 48 % монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
Ответ: 824
3.2. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первые две трети монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 20% монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
Ответ: 878
3.3. Юра выложил в ряд 2025 монет. Если он уберёт первую треть монет слева, то как минимум половина из оставшихся окажется лежащей орлом вверх. То же самое происходит, если Юра убирает последние 40% монет справа — среди оставшихся как минимум половина повёрнута орлом вверх. Какое минимальное количество монет может лежать орлом вверх?
Ответ: 743
4. На сторонах АС и ВС, а также на продолжении стороны АВ равностороннего треугольника АВС отмечены точки F, D и Е соответственно так, что D — середина EF. Длины отрезков BD и DC приведены на рисунке. Найдите EF2.
Ответ: 268
5. Коэффициенты многочлена Р(х) — неотрицательные целые числа. Известно, что P(2) = 100, P(P(2)) = 201061016. Найдите значение Р(0). Найдите значение Р(1).
Ответ: Р(0) — 16, Р(1) — 35.
5.3. Коэффициенты многочлена Р(х) — неотрицательные целые числа. Известно, что P(2) = 100, P(P(2)) = 102041522. Найдите значение Р(0). Найдите значение Р(1).
Ответ: Р(0) — 22, Р(1) — 44.
6. Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 64. Затем Петя называет своё число — от 1 до 93. После этого Наташа называет число от 1 до 96. Если сумма всех трёх названных чисел делится на 100, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте B отдельное поле, добавляя их при необходимости.
6.3. Наташа и Петя играют в игру. Вначале Наташа первой называет целое число от 1 до 48. Затем Петя называет своё число — от 1 до 62. После этого Наташа называет число от 1 до 65. Если сумма всех трёх названных чисел делится на 76, побеждает Наташа. Иначе побеждает Петя. Какое число Наташа должна назвать первым, чтобы при любом выборе Пети она могла победить? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7. Пусть х, у, 2 — такие положительные действительные числа, что выполнены следующие равенства: xlog2(yz) = 23.34, 310g2(22) = 24.38, 2log2(xy) = 23. 312. Найдите значение произведения хух. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8. Одинаковые ветряные турбины расположены на одинаковом расстоянии а друг от друга вдоль прямой линии. Каждая башня турбины представляет собой вертикальный цилиндр радиусом 3 метра. Пусть 1 — прямая, проходящая через центры оснований всех башен. Наблюдатель находится в точке О на той же плоскости, причём проекция О на 1 совпадает с одним из центров турбины, расстояние от точки О до точки 1 на рисунке. При разных значениях а число полностью видимых башен может быть разным. Найдите наибольшее число башен, которые могут быть полностью видны. Башня 1 полностью видна, если отрезки касательных из точки О до башни т не пересекают (но могут касаться) другие башни. Башен очень много в обе стороны от наблюдателя.
8.2. Одинаковые ветряные турбины расположены на одинаковом расстоянии в друг от друга вдоль прямой линии. Каждая башня турбины представляет собой вертикальный цилиндр радиусом 5 метров. Пусть 1 — прямая, проходящая через центры оснований всех башен. Наблюдатель находится в точке О на той же плоскости, причём проекция О на 1 совпадает с одним из центров турбины, расстояние от точки О до точки / на рисунке. При разных значениях в число полностью видимых башен может быть разным. Найдите наибольшее число башен, которые могут быть полностью видны. Башня 1 полностью видна, если отрезки касательных из точки О до башни T не пересекают (но могут касаться) другие башни. Башен очень много в обе стороны от наблюдателя.
15 октября 2025 олимпиада по математике 7-11 класс Сириус 1 группа Архангельская область 2. Волгоградская область 3. Вологодская область 4. город Севастополь 5. Донецкая Народная Республика 6. Запорожская область 7. Кабардино-Балкарская Республика 8. Карачаево-Черкесская Республика 9. Краснодарский край 10. Луганская Народная Республика 11. Мурманская область 12. Новгородская область 13. Псковская область 14. Республика Адыгея 15. Республика Дагестан 16. Республика Калмыкия 17. Республика Коми 18. Республика Крым 19. Республика Северная Осетия — Алания 20. Ростовская область 21. Ставропольский край 22. Херсонская область 23. Чеченская Республика.
Смотрите на сайте олимпиады:
14 октября 2025 Сириус Олимпиада по математике 7, 8, 9, 10, 11 класс
